Apreciacion de la musica estetica

RESONANCIA, EL COLUMPIO Y OTROS EJEMPLOS Luis Fernández Lobos
lfernandezl@entelchile.net

Resumen: Sabemos que el sonido corresponde a un fenómeno ondulatorio, en que ondas producidas por algún elemento que vibre produce un movimiento en las moléculas que están a su alrededor, generando a su vez pequeñísimas compresiones que se transmiten a través del aire en forma de ondas. Un diapasónvibrando, por ejemplo, pone las moléculas de aire circundantes en un movimiento armónico, el aire que actúa como medio elástico, permite conducir las vibraciones emitidas, las que se propagan en forma de ondas sonoras. Si hacemos sonar una determinada nota en un piano, y acercamos un diapasón cuya frecuencia natural sea la misma de la nota emitida por el piano, cada oscilación provoca un suave y rítmicoempuje del aire, produciendo ondas de la misma frecuencia natural del diapasón, llegando a perturbarlo y a ponerlo en movimiento a causa de la resonancia. El diapasón y la cuerda del piano son ejemplos de sistemas que oscilan naturalmente y aunque aparezcan mas complicados que la simple masa que cuelga de un resorte (muelle), ambos obedecen a la misma ecuación diferencial. Planteamiento delProblema: Intentar explicar de modo sencillo una situación compleja siempre es una tarea difícil, y lo que este trabajo pretende, es explicar el fenómeno de la resonancia de un modo que pueda ser comprendido sin tener que recurrir a herramientas matemáticas muy elevadas. Reconociendo que el tema de las ondas es de por si abstracto, este se irá desarrollando del modo mas afable posible, detallando losdesarrollos matemáticos y exponiendo ejemplos cada vez que se estime necesario. Desarrollo y discusión: Nos imaginaremos una masa en un muelle, la que tiene una fuerza interna F , que se opone naturalmente a cualquier perturbación x, pero que al ser perturbada, si no existe otra fuerza que actúe, comenzará a oscilar infinitamente, es decir responderá a una ecuación diferencial cuya solución es unafunción senoidal, representando oscilaciones en una frecuencia natural wo que dependerán de las características del sistema, que en el caso del muelle, corresponderán a: k , constante de elasticidad del muelle, y m (constante inercial), masa del objeto vibrando. donde

F = −kx
m ∂2 x = −kx ∂t 2

ma = −kx

k ∂2 x =− x 2 ∂t m

(1)

Por lo tanto (1) es la ecuación diferencialrepresentativa de este movimiento, y

x = CSen( wot )

es una solución de nuestra ecuación diferencial

derivándola dos veces…

dx = Cwo Cos ( wot ) dt ∂2 x = −Cw2 o Sen( wot ) ∂t 2
(2)

podemos entonces igualar las ecuaciones (1) y (2): k − x = − wo 2CSen( wot ) m pero … x = CSen( wot ) luego… −
k x = − wo 2CSen( wt ) = − wo 2 x m

simplificando por ( − x ) en ambos lados de la igualdad,llegamos a la siguiente y muy interesante ecuación, que nos será de gran utilidad mas adelante: k (3) wo 2 = m El columpio es también un sistema oscilante con una frecuencia natural, de hecho, una persona y su columpio son una especie de péndulo; y aunque la frecuencia alcanzada pueda ser 1000 veces menor que la frecuencia de un sonido audible, el principio es el mismo. Una persona al columpiarse, consus piernas es capaz de aprender a proporcionarse su propio impulso periódico desplazando su peso al estirar las piernas hacia adelante lo mas posible cuando está arriba, y encogerlas después, al llegar a abajo. Claro que este movimiento es de tipo forzado al igual que la gran mayoría de los movimientos armónicos en la realidad, entonces, por sí solo (es decir sin que la persona realice losmovimientos señalados) dejará de oscilar en algún momento debido al roce, de otro modo solo podemos mantener una amplitud constante aplicando una fuerza externa (otra persona empujando) que varíe con el tiempo de una forma periódica a una frecuencia definida.Correctamente aplicado, en el mismo punto de cada ciclo, es decir “en fase”, una persona estaría demostrando que domina el fenómeno de la...