aprender a tecnologiar

MODELOS DE PROBABILIDAD Y MUESTREO
ALEATORIO
Juli´n de la Horra
a
Departamento de Matem´ticas U.A.M.
a

1

Introducci´n
o

La Estad´
ıstica Descriptiva nos ofrece una serie de herramientas muy utiles
´
para resumir gr´fica y num´ricamente los datos que hemos obtenido sobre una
a
e
caracter´
ıstica o variable de inter´s, X, de una poblaci´n. Estos res´menes
e
o
u
son muyinteresantes, pero el objetivo de la Estad´
ıstica habitualmente va
m´s all´: pretende obtener conclusiones sobre la poblaci´n a partir de los
a
a
o
datos obtenidos en la muestra. La obtenci´n de conclusiones ser´ el objetivo
o
a
de la Inferencia Estad´
ıstica y para su desarrollo necesitaremos los modelos de
probabilidad. En particular, ser´ necesario modelizar las variables de inter´s,
ae
X, como variables aleatorias. En este cap´
ıtulo, presentaremos el concepto de
variable aleatoria (discreta y continua), y los modelos de probabilidad m´s
a
utilizados en la pr´ctica. Finalmente, introduciremos las caracter´
a
ısticas que
debe poseer una muestra aleatoria, para que podamos obtener conclusiones
razonadas sobre toda la poblaci´n.
o

2

Variables aleatoriasdiscretas

Una variable aleatoria discreta es una modelizaci´n de una caracter´
o
ıstica X
de tipo discreto.
Recordemos que una caracter´
ıstica X es de tipo discreto cuando puede
tomar una serie de valores claramente separados x1 , ..., xk . En una muestra
concreta de tama˜o n, cada uno de estos valores aparece n1 , ..., nk veces
n
(frecuencias absolutas). La frecuencia relativa de cada valores fi = ni /n.
Definici´n.- Una variable aleatoria, X, decimos que es de tipo diso
creto cuando puede tomar los valores x1 , ..., xk con probabilidades P (x1 ), ...,
P (xk ). Estas probabilidades reciben el nombre de funci´n de masa o
o
funci´n de probabilidad.
o
Las probabilidades son la modelizaci´n en la poblaci´n de las frecuencias
o
o
relativas. Igual que las frecuencias relativas,las probabilidades son n´meros
u
entre 0 y 1, y la suma de las probabilidades es 1.

1

Ejemplo.- Consideremos la variable X=“Resultado obtenido” al lanzar
un dado corriente con seis caras. Podemos enfrentarnos a esta variable de
dos maneras diferentes:
1. Datos muestrales. Lanzamos la moneda n veces, y anotamos los
resultados: obtenemos n1 veces el n´mero 1,...,n6 veces el n´mero 6.
uu
La frecuencia relativa con la que hemos obtenido el valor i es fi = ni /n.
Si lanzamos el dado muchas veces, seguramente las frecuencias relativas
ser´n todas ellas bastante parecidas a 1/6, si el dado est´ equilibrado.
a
a
2. Modelo te´rico. Consideramos la variable X=“Resultado obtenido”
o
como una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores 1,...,6,
cada uno de ellos conprobabilidad 1/6.
Cuando trabaj´bamos con variables discretas en Estad´
a
ıstica Descriptiva,
pod´
ıamos calcular la media muestal y la varianza muestral. Si obten´
ıamos
los valores x1 , ..., xk , n1 , ..., nk veces, respectivamente, ten´
ıamos:
Media muestral = x =
¯

1 k
ni xi =
n i=1

k

fi xi
i=1

1 k
Varianza muestral = vx =
ni (xi − x)2 =
¯
n i=1

k

fi (xi −x)2
¯
i=1

Las definiciones de media y varianza para una variable aleatoria discreta
siguen la misma filosof´ sustituyendo frecuencias relativas por probabiliıa,
dades.
Definiciones.- Consideramos una variable aleatoria discreta X que puede
tomar los valores x1 , ..., xk con probabilidades P (x1 ), ..., P (xk ).
La media o esperanza de X se define como:
k

µ = E[X] =

xi P (xi )
i=1La varianza de X se define como:
k

σ 2 = V (X) =

k

x2 P (xi ) − (E[X])2
i

(xi − E[X])2 P (xi ) = ... =
i=1

i=1

2

3

Variables aleatorias continuas

Una variable aleatoria continua es una modelizaci´n de una caracter´
o
ıstica X
de tipo continuo.
Recordemos que una caracter´
ıstica X es de tipo continuo cuando puede
tomar cualquier valor en un intervalo de la...