Aprendiendo a despejar

MATERIALES DIDÁCTICOS

LUIS QUINTANAR MEDINA*

Ejercitaremos el despeje en ecuaciones de primer grado y lo haremos a tres niveles: El primero en que solo se consideran expresiones directas, la habilidad que se desarrolla es el despeje en expresiones del tipo, en donde a y b son números dados; el segundo nivel, en donde las expresiones que involucran a la incógnita son mas complicadas, y eltercero, en donde se comentan las ideas de lo que se hizo en los dos niveles anteriores. Se recomienda que se realicen todas las actividades sugeridas ya que la ejercitación es el único camino cierto para dominar el despeje de incógnitas.

* pkom2002@hotmail.com

ECUACIONES E INCÓGNITAS UNA ECUACIÓN Es una igualdad entre expresiones algebraicas. Un ejemplo de una EXPRESIÓN ALGEBRAICA es 2x+3,Entonces una ecuación puede ser 2x+3=7x para las expresiones 2x+3 y 7x o también 7-x=2 para las expresiones 7-x y 2. La letra x (u otra letra, generalmente las últimas del alfabeto, x, y z), representa un numero cualquiera y es la llamada incógnita, que es lo que se desea conocer en la ecuación dada. Aunque no se conoce el valor de x, no debe ser un problema el trabajar con estas expresiones; en elultimo ejemplo, 7-x=2, si se sabe que, si al número 7 le restamos el numero x, obtendremos el numero 2. Entonces, lo que deseamos, una vez que identificamos la ecuación, es CONOCER el valor de x que hace que la igualdad entre las expresiones se cumpla; a esto se le llama RESOLVER LA ECUACIÓN.

Señala las ecuaciones en la siguiente lista 3x+6
5-y=-2 3x-4=6+5x X3-5x2+3x-2 0=33-y+12 25 y + y3 − 617 3 -5x4+8=-44x x − 33 + x 2 12-y+32-y3=7y-63 2x-5=9x

DESPEJAR Para conocer el valor de la incógnita es necesario “despejarla” en la ecuación, o sea, dejarla sola. En 3x=6 sabemos que x=2 porque 3 por 2 es 6, pero ¿cómo obtenemos x?, ¿cómo la despejamos? LAS REGLAS Para despejar a la incógnita en una ecuación, las reglas o leyes que se utilizan son las operaciones muy conocidas de SUMA,RESTA, MULTIPLICACIÓN y DIVISIÓN de números y algunas propiedades de los números; las veremos a continuación.

NIVEL 1
1. MULTIPLICACIÓN-DIVISION POR EJEMPLO... Si la ecuación es 3x=6 Para despejar a x, debemos quitar el 3 que la multiplica. Si multiplicamos la expresión 3x por 1/3 entonces (1/3)(3x)=x. Aquí hemos usado la PROPIEDAD: Inverso multiplicativo de un numero real a 1 ( a )( )=1, siempreque a sea diferente de cero a Se dice que a es el inverso multiplicativo de 1/a y 1/a es el inverso multiplicativo de a ¡OJO! Para mantener la igualdad de la ecuación original, entre las dos expresiones, se debe multiplicar también a 6 por 1/3, quedando 6/3, entonces se cumple x=2 con lo cual, hemos despejado x y obtenido el valor que hace que se cumpla la ecuación original. Lo mismo se puede usarsi se tiene, por ejemplo, x =6 5 Aquí se usa la propiedad del inverso multiplicativo para eliminar al numero 5, en realidad, al numero 1/5, ya que (1/5)x=x/5 Entonces multiplicaremos a la expresión x/5 por 5 ya que (1/5)(5)=1. Se tendrá 5(x/5)=x; no olvidar que se debe multiplicar también al 6 de la ecuación original: se tendrá entonces: x=30 Si tenemos una ecuación como –3x=10, se deberá quitarel numero –3, multiplicando ambos miembros por el inverso multiplicativo de –3 que es –1/3 (NOTA en el caso de tener –y, recordar que –y significa (–1)(y) y entonces eliminar el signo menos significa multiplicar por el inverso multiplicativo de –1, que es el mismo -1) Una variante de lo anterior se muestra en el siguiente caso: 3x =8, 4 en donde se debe recordar que 3x 3 = ( ) x , y en general: 44

ax a = ( )x b b y entonces, se despeja x multiplicando por el inverso multiplicativo de a/b, que es b/a

Despeja la incógnita en cada caso, usando a) la propiedad del inverso multiplicativo y b) aplicando la misma operación básica (suma, resta, multiplicación o división) a los dos miembros de la ecuación. 2x=60 6z = 11 7 12=-3y -2z=40 -y=77 − 3 = z 3 y 3 6x =1 = −3 5 5

2. SUMA-RESTA...