Aproximacion de boussinesq

Aproximación de Boussinesq
Las teorías empleadas por Joseph Boussinesq (1842-1929) para la ecuación de convección fueron:
* Se ignoran las variaciones de las propiedades del fluido con la temperatura salvo la densidad.
* Se ignoran las variaciones de la densidad, salvo que den lugar a las fuerzas gravitacionales.
Ecuación de continuidad:
DρDt+∇∙V=0
Siendo V la velocidad que seindicarán en u, v y w, y ρ depende de la temperatura y de las concentraciones (salinidad y humedad). Pero el movimiento del fluido se considera isoentrópico, por lo tanto, la temperatura y las concentraciones se consideran constantes.
DρDt=0
La ecuación del movimiento de Navier-Stokes:
ρ0DVDt=-∇p+µ∇2V+∆ρg
Donde las variaciones de la densidad dependen de la temperatura:
∆ρ=ρ01-α∆T
Siendo ρ0 ladensidad del fluido a la temperatura de referencia To, y α el coeficiente de dilatación del fluido. Por lo tanto, la expresión de Boussinesq permite eliminar ρ de las ecuaciones de conservación, en las que la densidad toma el valor de referencia ρ0 en todos los términos excepto en el término de flotación.
La ecuación dinámica de Boussinesq es:
DVDt=-1ρ0∇p+ν∇2V-g1-α∆T
Y para la velocidad vertical w.∂2∂t2∂2w∂x2+∂2w∂y2+∂2w∂z2+N2∂2w∂x2+∂2w∂y2=0

Para la obtención de la ecuación de Boussinesq con respecto a la velocidad en dirección w, se va a derivar el sistema de ecuaciones que gobiernan el movimiento de las ondas de un fluido incompresible con estratificación de densidad continua. Se utilizará las coordenadas x, y y z, con z medido verticalmente hacia arriba. Los componentes de velocidad enlas direcciones de x, y y z en aumento se indicarán como u, v y w. La partícula del fluido tiene que satisfacer la ecuación de continuidad:
∇∙V=0
Recordar que la ecuación de densidad, al ser un fluido incompresible:
DρDt=0
Por lo tanto la ecuación de continuidad es:
∂u∂x+∂v∂y+∂w∂z=0
Y la ecuación de movimiento de Navier-Stokes es:
ρ0DVDt=-∇p+µ∇2V+ρg
En cada coordenada es:
ρ∂u∂t+u∂u∂x=-∂p∂xρ∂v∂t+v∂v∂y=-∂p∂y
ρ∂w∂t+w∂w∂z=-∂p∂z-ρg
Donde ρ y p son la densidad del fluido y la presión.

Si se supone que las velocidades son pequeñas, se puede linealizar las ecuaciones de cantidad de movimiento para obtener:
ρ∂u∂t=-∂p∂x
ρ∂v∂t=-∂p∂y
ρ∂w∂t=-∂p∂z-ρg
Se considera que el movimiento de ondas resulta de la perturbación de un estado de equilibrio. Por lo tanto, la distribución de densidady presión es la distribución de equilibrio hidrostático dada por:
∂p∂z=-ρg
Cuando el movimiento se desarrolla, la presión y la densidad cambian a:
p=pz+p'
ρ=ρz+ρ'
Donde p’ y ρ’ son las perturbaciones de presión y densidad, y p y ρ corresponde al equilibrio hidrostático de la presión y la densidad.
Como la ecuación de la densidad es:
DρDt=0
La ecuación de la derivada total de la densidadρ’ es:
Dρ'Dt=∂ρ'∂ρ'+V∙∇ρ'=0
Por lo tanto:
∂ρ'∂t+u∂ρ'∂x+v∂ρ'∂y+w∂ρ'∂z+w∂ρ∂z=0

Los términos no lineales u∂ρ'∂x+v∂ρ'∂y+w∂ρ'∂z son insignificantes para un movimiento de amplitud pequeña, por lo que la ecuación se simplifica a:
∂ρ'∂t+w∂ρ∂z=0 (1)
Lo que indica que la perturbación de la densidad en un punto se genera mediante la vertical de la distribución de velocidad. Por lo que lasecuaciones de movimiento asumen la forma:
ρ∂u∂t=-∂p'∂x (2)
ρ∂v∂t=-∂p'∂y (3)
ρ∂w∂t=-∂p'∂z-ρ'g (4)

A continuación, el objetivo es reducir las ecuaciones obtenidas en una única ecuación parcial:
Primero, se toma la derivada temporal de la ecuación de continuidad:
∂∂t∇∙V=0
∂2u∂t∂x+∂2v∂t∂y+∂2w∂t∂z=0 (5)
Segundo, se toma la derivada x, y y t,respectivamente, de las ecuaciones (2), (3) y (4):

ρ∂2u∂x∂t=-∂2p'∂x2 (6)
ρ∂2v∂y∂t=-∂2p'∂y2 (7)
ρ∂2w∂t2=-∂2p'∂t∂z-g∂ρ'∂t 8

Se reemplaza (6) y (7) en (5);
-1ρ∂2p'∂x2+∂2p'∂y2+∂2w∂t∂z=0
-∂2p'∂x2+∂2p'∂y2=-ρ∂2w∂t∂z 9
Tercero, se puede eliminar ρ’ de la ecuación (8), a través de la ecuación (1):
De (1):
∂ρ'∂t=-w∂ρ∂z
Sustituyendo en (8):...