Aproximacion De Controladores Discretos

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DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA

Apunte1 pagina 1 Aproximación o discretización de controladores de tiempo continuo basados en su función de transferencia.
Una función de transferencia representa una ecuación diferencial. Es natural obtener una ecuación a diferencias por aproximación de derivadas, por ejemplo. Euler: Diferencia hacia delante: dx ( t ) x ( t + T )− x ( t ) ( z − 1) ≈ = x (t ) dt T T Diferencia hacia atrás (Backward):
dx ( t ) x ( t ) − x ( t − T ) ( z − 1) ≈ = x (t ) dt T ( zT ) En la transformación de variables, esto corresponde a sustituir s por

( z − 1)
T

o s por

( z − 1) . ( zT )

Recordemos que la relación entre las variables s y z está dada por: z = e sT Entonces la aproximación de diferencias que corresponde a laexpansión en serie es: Método Euler: Backward Difference:

z = e sT ≈ (1 + sT )
z = e sT ≈
z = e sT ≈

1 (1 − sT )

Método Trapezoidal:

(1 + sT / 2 ) (1 − sT / 2 )

El método trapezoidal es llamado en control digital de aproximación de Tustin o aproximación bilineal. Entonces, utilizando los métodos de aproximación arriba, la función de transferencia del compensador Gc ( z ) se obtienereemplazando el argumento “ s ” en Gc ( s ) por s* .
s∗ = s∗ = s∗ =

( z − 1)
T

Método Euler: Diferencia hacia delante Diferencia hacia atrás. Aproximación de Tustin.

( z − 1)
zT

2 ( z − 1) T ( z + 1)

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⇒ Gc ( z ) = Gc ( s∗ )

Apunte 2 pagina 1 Controladoresdel adelanto y atraso de fase.
Sea la función de transferencia genérica de un controlador de adelanto o de atraso de fase dado por:
Gc ( z ) = K c

( z − z1 ) ( z − p1 )

Donde: z1 y p1 son cero y polos reales.

Gc ( z ) tendrá características pasa bajas o pasa altas según sean las magnitudes de z1 y p1 .
Sustituyendo la transformación z = e sT ≅ 1 + sT en la anterior, resulta:
Gc∗ ( s )≅ K c

(1 + sT − z1 ) (1 + sT − P1 )
1 1

Gc∗ ( s ) ≅ K c

( s + (1 − z ) T ) ( s + (1 − p ) T )

Dado que por razones de estabilidad es necesario que el cero y el polo del compensador se ubiquen dentro del círculo unitario z1 = p1 ≤ 1 . Por tanto estas raíces resultan en el semiplano izquierdo del plano s . A partir de las configuraciones conocidas de estos compensadores en el plano stenemos que:

Compensador de atraso de fase: Frecuencia del polo < Frecuencia del cero −

(1 − p1 ) < − (1 − z ) ⇒ z
T T

1

< p1

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Compensador de adelanto de fase: Frecuencia del polo > Frecuencia del cero −

(1 − p1 ) > − (1 − z1 ) ⇒ z
T T

1

> p1Facultad de Ingeniería – U.Na.M

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Controlador discreto PID. a) Controlador PD: Teníamos que la función de transferencia del controlador PD era:  K T + Kd Gc ( z ) =  p T  Haciendo las siguientes igualdades:   z − Kd     

( K T + K )  
p d

z

  

 K T + Kd Kc =  p T   Kd  , z1 =  K T +K  d  p

  y p1 = 0  

El controlador PD es un caso especial del compensador de adelanto de fase donde p1 = 0 . b) Controlador PI: Método Forward o diferencias hacia adelante.
Gc ( z ) = K p + K iT Donde: a= K p − K iT Kp , K c = K p , z1 =
K p − K iT Kp

1 ( z − a) = Kp ( z − 1) ( z − 1)

y p1 = 1

z1 Puede estar tanto en la parte positiva como negativadel eje real. Método Backward. Gc ( z ) = K p + K i z ( z − a) = ( K p + K iT ) ( z − 1) ( z − 1)

Donde:
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a=

Kp K p + KiT

, K c = ( K p + K iT ) , z1 =

Kp K p + K iT

y p1 = 1

z1 se ubica sobre el eje real positivo. Método trapezoidal o de...