Aproximacion funciones

ANALISIS MATEMATICO I
Ciclo Lectivo 2009
Guía de Estudio y Práctica 12

APROXIMACION DE FUNCIONES
Ing. Jorge J. L. Ferrante
I

CONSOLIDACIÓN DE CONCEPTOS

Aproximar, dice la Real Academia Española en su Diccionario de la
Lengua, significa "Obtener un resultado tan cercano al exacto como sea
necesario para un propósito determinado"
Ese es, exactamente, el tema de esta Guía. Obtenerresultados tan
cercanos al exacto como sea necesario con el propósito de trabajar con
funciones sencillas en lugar de hacerlo con funciones complicadas. Pero,
¿qúe clasificación es esta? ¿Acaso se trata de nuevas categorías de
funciones? ¿Cuáles son las sencillas? ¿Cuáles son las complicadas?
Algunos ejemplos permitirán entender el concepto.
La función y = sen(x) no es complicada para nadie.Sin embargo, la
función y = x es más sencilla que la función seno. De hecho, para calcular
algún valor de la primera, lo primero que se piensa es en la necesidad de
consultar una tabla de valores de la función seno, problema absolutamente
inexistente para la segunda, ya que, dado x = x0 de inmediato es y0 = x0. ¿Y?
Simple, si se recuerda que la función seno y la función arco son infinitésimosequivalentes en un entorno del origen de coordenadas, en ese entorno se
podrá tomar sen(x) ≅ x porque la aproximación es tan cercana al valor
exacto como algún problema de ingeniería lo requiere.
Esto no es para nada trivial. En física se estudia el péndulo. El modelo
matemático del mismo es una ecuación diferencial de segundo orden donde
aparece un sen(θ) donde θ es el ángulo que forma lavertical con el
desplazamiento lateral del hilo que sostiene la "lenteja" que forma el
péndulo. Esa ecuación diferencial no tiene solución analítica (como ocurre
con la mayor parte de las ecuaciones diferenciales que se presentan en la
práctica). Sin embargo, los colegas de física dicen "para ángulos θ pequeños
- ¿les gusta 6º30" o 7º?, más no - la función sen(θ) puede ser reemplazada

porθ y entonces si, la ecuación diferencial tiene solución analítica, es una
ecuación lineal de segundo orden cuya solución exacta es de fácil obtención.
Un paseo por el laboratorio de física, con péndulo, cronómetro,
guardapolvo y demás enseres de un experimentador, permitirá ver las
diferencias entre un péndulo apartado 5º de la vertical y soltado para que
oscile y otro experimento apartándolo60º de la vertical y librado a oscilar
y, sobre todo permitirá ver y medir lo que significa "aproximar"
Un cable pesado, o mejor, una cadena, sujetada por sus extremos a
una misma altura y a distancia d, hace "panza". Esa panza, cuando el
problema se estudia matemáticamente corresponde a un coseno hiperbólico,
función cuya forma es llamada "catenaria" precisamente por ese motivo.
Lacatenaria, una vez dibujada, huele a parábola, razón por la cual el
coseno hiperbólico parece posible sea aproximado por una parábola. Pero
¿qué parábola? ¿de qué grado? ¿con qué error? . Estas y otras preguntas
serán contestadas en el desarrollo de esta GEP. Pero se adelanta, el coseno
hiperbólico puede ser aproximado, con error cada vez menor, por las
siguientes parábolas:
x2
2
x2 x4
ch ( x ) ≈1 +
+
2 24
x2 x4
x6
ch ( x ) ≈ 1 +
+
+
2 24 720
...........................................
ch ( x ) ≈ 1 +

Los siguientes gráficos dan prueba de ello.
La catenaria
10

8

6

4

2

3

2

1

1

2

3

La catenaria superpuesta a la primera parábola
10

8

6

4

2

3

2

1

1

2

3

En un entorno del origen, la aproximación parece buena,luego
empeora en forma creciente.
La catenaria y las dos primeras parábolas de aproximación
10

8

6

4

2

3

2

1

1

2

3

La aproximación mejora significativamente.
Aproximación con las tres parábolas
10

8

6

4

2

3

2

1

1

2

3

La tercera sólo se aprecia por el tono más fuerte de la catenaria.
Para muchas aplicaciones, esto es más que...