Aproximacion polinomica

4. Aproximaci´
on polin´
omica
1. Interpola la funci´on log x por un polinomio cuadr´atico en x = 10, 11, 12. Estima el error
cometido en x = 11.1 cuando se aproxima el logaritmo por el polinomiointerpolador.
2. Un coche que viaja por una carretera es cronometrado en los kil´ometros 0, 20 y 100 en los
tiempos 0, 1/2 y 1 horas. La velocidad medida es respectivamente 75, 77 y 80 kil´ometros
porhora. Halla una aproximaci´on de la posici´on del coche en t = 3/4.
3. Se consideran dos v´ıas horizontales y paralelas. Entre los puntos (0, 0) y (4, 2) se desea
hacer un cambio de v´ıa. Para que eltren no descarrile el cambio de v´ıa ha de ser tangente
en ambos puntos. Halla el trazado del cambio de v´ıa.
4. Halla el polinomio de Maclaurin del grado n indicado, para las siguientes funciones:
a) f(x) = exp(2x),
c) f (x) =

1
,
x+1

n = 2,

b) f (x) = sin(πx),

n = 3,

d) f (x) = 3 − 2x2 + x3 ,

n = 4,

n = 3.

5. Halla el polinomio de Taylor de grado n centrado en a de las siguientesfunciones:
a) f (x) =

1
,
x

n = 4,

b) f (x) = x2 cos x,

a = 1,

n = 2,

a = π.

En el apartado b), utiliza el polinomio obtenido para aproximar f (5π/4) y observa la
diferencia con el valor obtenido conMaxima o una calculadora.
6. Consideremos la funci´on f (x) = ex y denotemos por pn,0 (x) su polinomio de Maclaurin de
grado n.
a) ¿Qu´e error se comete estimando e0.6 mediante el polinomio p5,0 ?
b)Explica por qu´e es mejor la aproximaci´on dada por p5,0 que la dada por p2,0 . ¿Es
mejor que la dada por p6,0 ?
7. ¿Qu´e grado de polinomio de Maclaurin de log(x+1) hay que considerar para hallarlog(1.5)
con error menor que una diezmil´esima?
8. Halla los desarrollos limitados de Taylor de orden tres en a = 1 de
a) tan(

πx
),
4

b) √

1
,
2 − x2

c) ex ,

d)

1
.
1 + x2 + x4

9. Halla los cuatroprimeros t´erminos del desarrollo limitado de Maclaurin de ex cos x.
10. Aproxima con error menor que una mil´esima el valor de
a) cos(0.75),

b) e0.25 ,

c) log(1.75),

1

d) sin(95◦ ).

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