Aproximacion Y Error

TEMA 1
APROXIMACIONES Y ERRORES
Los errores son parte intrínseca en el entendimiento y uso efectivo de los métodos
numéricos, la mayor parte de las técnicas desarrolladas tienen la característica de poseer
errores.
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
El concepto de cifras o dígitos significativos se ha desarrollado para designar
formalmente la confiabilidad de un valor numérico. El número de cifrassignificativas es el
número de dígitos, mas un dígito estimado que se pueda estimar con confianza. Los ceros
no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse sólo para ubicar el punto decimal.
El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de
los métodos numéricos.
1. Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados, por lo tanto se deben dedesarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos.
Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas.
2. Aunque ciertas cantidades tales como π , e, o 7 representan números específicos,
no se pueden expresar exactamente con un número finito de dígitos.
Ejemplo: π = 3.141 592 653 589 793 238 462 643…
Tal número jamás se podrá representarexactamente.
EXACTITUD Y PRECISION
Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observado su
precisión y exactitud.
La precisión se refiere a:
1) El número de cifras significativas que representan una cantidad
2) La extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide una propiedad
física.
La exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una medida alvalor
verdadero que se supone representa.
DEFINICIONES DE ERROR
Error: es la inexactitud y la imprecisión de las predicciones.
Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las
operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen errores de truncamiento, que
resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los
errores deredondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos.
Para los dos tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el
aproximado está dada por:

Valor verdadero = Valor aproximado + error
El valor numérico es:
Ev = Valor verdadero - Valor aproximado

Ev = Error verdadero

Una manera de medir las magnitudes de las cantidades que se están evaluando esnormalizar el error respecto al valor verdadero:
Error relativo fraccional = error / valor verdadero
El error relativo se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como:

εv = (error verdadero/ valor verdadero)*100%
donde εv denota el error relativo porcentual.
Para lo métodos numéricos el valor verdadero no se conoce. En estos casos,
normalizar el error es una alternativa, usando la mejorestimación posible del valor
verdadero, esto es, a la aproximación misma, como

εa = (error aproximado/ valor aproximado)*100%
donde el subíndice a significa que el error esta normalizado a un valor aproximado.
En ciertos métodos numéricos se usan esquemas iterativos para calcular los resultados.
En tales esquemas, se hace una aproximación en base a la aproximación anterior. Para
estosesquemas el error relativo porcentual está dado por

εa = ((aproximación actual-aproximación previa)/aproximación actual)*100%
Es conveniente enfocar estos errores hacia el número de cifras significativas en la
aproximación. Scarborough en 1966 demostró que si el siguiente criterio se cumple,
puede tenerse la seguridad que el resultado es correcto en al menos n cifras
significativas.

ε s =(0.5 x10 2 − n )

εs = tolerancia

ERRORES DE REDONDEO
Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un número
finito de cifras significativas durante un cálculo.

Las reglas para redondear números en cálculos manuales se analizan en el recuadro
siguiente:

ERRORES DE TRUNCAMIENTO
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en...