Aproximaciones Discretas

Tarea de estadistica 1 sobre Aproximaciones Discretas y Aproximaciones Continuas
1- Aproximaciones discretas:
a) Distribución Binomial por la distribución de Poisson.
En ciertas consideraciones, una ley binomial se puede aproximar por una Ley de Poisson.
La aproximación por Poisson mejora sensiblemente si el numero (n) de ensayos binomiales es grande y si la probabilidad (p) de éxito en cadaensayo es pequeña. Esta ultima conclusión nos conduce al criterio de aproximación de una ley binomial por una Ley de Poisson.
Tiene la formula siguiente:
Aproximacion de binomial por Poisson; si y , entonces b(n, p) se aproxima a una distribución de Poisson , haciendo .
Donde:
λ = np = número esperado de éxitos = tasa promedio de éxitos
n = número de repeticiones del experimento
p =probabilidad de éxito = p(éxito)

Una regla general aceptable o las condiciones para una buena aproximación es emplear esta aproximación si y , si la aproximación es generalmente excelente siempre y cuando n.
 
 Ejercicios:
1.       Se sabe que el 5% de los libros encuadernados en cierto taller tienen encuadernaciones defectuosas. Determine la probabilidad de que 2 de 100 librosencuadernados en ese taller, tengan encuadernaciones defectuosas, usando,
a) la fórmula de la distribución Binomial,
b) la aproximación de Poisson a la distribución Binomial.
 
 Solución:
a) n = 100
p = 0.05 = p(encuadernación defectuosa) = p(éxito)
q = 0.95 = p(encuadernación no defectuosa) = p(fracaso)
 x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra = = 0, 1,2, 3,....,100 encuadernaciones defectuosas
 
   
              
b) n = 100 encuadernaciones
      p = 0.05
      λ = np = (100)(0.05) = 5
x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra (0, 1, 2, 3,....,100) encuadernaciones defectuosas
 


                                                  
 Comparación entre los resultados = 0.0812 – 0.0843 =0.0031
Al comparar los resultados de las probabilidades con una y otra distribución, nos damos cuenta de que la diferencia entre un cálculo y otro es de tan solo 0.0031, por lo que la aproximación de Poisson es una buena opción para calcular probabilidades Binomiales.
 

2. Un fabricante de maquinaria pesada tiene instalados en el campo 3840 generadores de gran tamaño con garantía. Sí laprobabilidad de que cualquiera de ellos falle durante el año dado es de 1/1200 determine la probabilidad de que a) 4 generadores fallen durante el año en cuestión, b) que más 1 de un generador falle durante el año en cuestión.
 
Solución:
a) n = 3840 generadores
p = 1/1200 = probabilidad de que un generador falle durante el año de garantía
λ = np = (3840)(1/1200) = 3.2 motores en promediopueden fallar en el año de garantía
x = variable que nos define el número de motores que pueden fallar en el año de garantía
= 0, 1, 2, 3,....,3840 motores que pueden fallar en el año de garantía
 


                  
 
b)  p(x=2, 3,4,....,3840; λ=3.2) =1-p(x=0,1;λ=3.2)

= 
          
=         
   





3. En un proceso de manufactura, en elcual se producen piezas de vidrio, ocurren defectos o burbujas, ocasionando que la pieza sea indeseable para la venta. Se sabe que en promedio 1 de cada 1000 piezas tiene una o más burbujas. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 8000 piezas, menos de 3 de ellas tengan burbujas?
 
Solución:
n = 8000 piezas
p = 1/1000= 0.001 probabilidad de que una pieza tenga 1 o másburbujas
λ = np = (8000)(1/1000) = 8 piezas en promedio con 1 o más burbujas
x = variable que nos define el número de piezas que tienen 1 o más burbujas
= 0,1, 2, 3,....,8000 piezas con una o más burbujas


                           



 
b) Distribución Hipergeometrica por la Distribución Binomial
Aproximacion de la distribucion hipergeometrica por la binomial.
Si X es una variable...