Aproximaciones Usando La Diferencial
Páginas: 4 (876 palabras)
Publicado: 3 de junio de 2012
5.5 CALCULO DE APROXIMACIONES USANDO LA DIFERENCIAL
Hemos estado usando la notación de Leibniz dy/dx para la derivada de y con respecto a x. hasta ahora, hemos tratado a dy/dx como un solo símboloy no hemos intentado dar significados separados a dy y dx. Esto es lo que nos proponemos hacer ahora
Para motivar nuestra definición, sea P(x₀, y₀) un punto fijo sobre la grafica de y= f(x) como semuestra en la figura 1. Con P como origen introdúzcanse nuevos ejes coordenados (los ejes dx y dy) paralelos a los antiguos. En este antiguo sistema de coordenadas, la tangente en P tiene unaecuación particular simple, a saber dy =m dx, donde m es la pendiente. Pero la pendiente m en el nuevo sistema de coordenadas es la misma que la del antiguo sistema de xy. Por tanto, m = f´(x₀) y la ecuaciónde la tangente se puede escribir como
dy =f´(x₀) dx
La utilidad de esta noción descansa en el echo fundamental de que la tangente esta muy cerca a la curva y= f(x9 en la vecindad de p (x₀ , y₀)(véase la figura 2). Por lo tanto, si se da x un pequeño incremento ∆y= f´(x₀ +∆x)-f(x₀), en tanto que sobre la tangente será dy= f´(x₀) ∆x. pero dy es una buena aproximación de ∆y y no es mas que unaconstante multiplicada por ∆x, por lo que en general será mucho mas fácil de calcular. Después de esta sección estudiaremos las consecuencias de este resultado.
DEFINICIÓN DE DIFERENCIALES:Suponiendo que y= f(x) es diferenciable en x y y que dx, la diferencial de una variable independiente x, designa un incremento arbitrario de x. la diferencia dy correspondiente de la variable dependientey se define como
dy= f´(x)dx
EJEMPLO 1: encuentre dy si (a) y=x³-3x+1, (b) y=√x²+3x, (c) y= sen(x⁴-3x²+11).
Solución. si sabemos como calcular derivadas, sabemos calcular diferenciales. Basta concalcular la derivada y multiplicarla por dx.
(a) dy= (3x²-3)dx
(b) dy=½(x²+3x)¯½ (2x+3)dx =2x+32x2+3x dx
(c) dy= cos(x⁴-3x²+11).(4x³-6x)dx
Ahora le pedimos que observe varias cosas. Primero,...
Hemos estado usando la notación de Leibniz dy/dx para la derivada de y con respecto a x. hasta ahora, hemos tratado a dy/dx como un solo símboloy no hemos intentado dar significados separados a dy y dx. Esto es lo que nos proponemos hacer ahora
Para motivar nuestra definición, sea P(x₀, y₀) un punto fijo sobre la grafica de y= f(x) como semuestra en la figura 1. Con P como origen introdúzcanse nuevos ejes coordenados (los ejes dx y dy) paralelos a los antiguos. En este antiguo sistema de coordenadas, la tangente en P tiene unaecuación particular simple, a saber dy =m dx, donde m es la pendiente. Pero la pendiente m en el nuevo sistema de coordenadas es la misma que la del antiguo sistema de xy. Por tanto, m = f´(x₀) y la ecuaciónde la tangente se puede escribir como
dy =f´(x₀) dx
La utilidad de esta noción descansa en el echo fundamental de que la tangente esta muy cerca a la curva y= f(x9 en la vecindad de p (x₀ , y₀)(véase la figura 2). Por lo tanto, si se da x un pequeño incremento ∆y= f´(x₀ +∆x)-f(x₀), en tanto que sobre la tangente será dy= f´(x₀) ∆x. pero dy es una buena aproximación de ∆y y no es mas que unaconstante multiplicada por ∆x, por lo que en general será mucho mas fácil de calcular. Después de esta sección estudiaremos las consecuencias de este resultado.
DEFINICIÓN DE DIFERENCIALES:Suponiendo que y= f(x) es diferenciable en x y y que dx, la diferencial de una variable independiente x, designa un incremento arbitrario de x. la diferencia dy correspondiente de la variable dependientey se define como
dy= f´(x)dx
EJEMPLO 1: encuentre dy si (a) y=x³-3x+1, (b) y=√x²+3x, (c) y= sen(x⁴-3x²+11).
Solución. si sabemos como calcular derivadas, sabemos calcular diferenciales. Basta concalcular la derivada y multiplicarla por dx.
(a) dy= (3x²-3)dx
(b) dy=½(x²+3x)¯½ (2x+3)dx =2x+32x2+3x dx
(c) dy= cos(x⁴-3x²+11).(4x³-6x)dx
Ahora le pedimos que observe varias cosas. Primero,...
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