Aproximación adiabática

Aproximaci´n Adiab´tica
o
a
Jennifer Gabriela L´pez
o
21 de mayo de 2013
Resumen
Un proceso adiab´tico es b´sicamente un cambio gradual en las cona
a
diciones externas de un proceso. Sirve para resolver problemas donde hay
dos par´metros variables de los cuales uno var´ de manera sutil, entona
ıa
ces se puede aproximar como que est´ fijo, se resuelve el problema as´ y
e
ı
despu´s sehace la correcci´n.
e
o

1

1.

Aproximaci´n Adiab´tica
o
a

La manera m´s simple de entender la aproximaci´n adiab´tica es usando un
a
o
a
ejemplo cl´sico. Imaginar que se tiene un p´ndulo simple, sin fricci´n ni resisa
e
o
tencia del aire, oscilando de un lado a otro en un plano vertical. Si se toma el
extremo del p´ndulo y se agita, se produce un movimiento ca´tico, pero,si en
e
o
cambio se mueve de manera gentil y estable, el p´ndulo continuar´ oscilando de
e
a
manera suave, en el mismo plano o en uno paralelo, y con la misma amplitud.
´
Este cambio gradual de las condiciones externas se define como un proceso
adiab´tico.
a
Se debe distinguir que existen dos tiempos el Ti que es el tiempo interno,
representa el movimiento del sistema mismo, y el Te quees el tiempo externo,
sobre el cual los par´metros del sistema cambian apreciablemente. Un proceso
a
adiab´tico es aquel en el cual Te
a
Ti .
La estrategia b´sica para analizar un proceso adiab´tico es primero resolver
a
a
el problema manteniendo los par´metros externos constantes, y s´lo al final del
a
o
problema se les permite variar lentamente con el tiempo.
Por ejemplo,
El per´ıodo cl´sico para un p´ndulo de longitud L fija es
a
e
2π

L/g

ahora, si la longitud est´ gradualmente cambiando, el per´
a
ıodo ser´
a
2π

L(t)/g

Otro ejemplo es, en f´
ısica molecular, se inicia asumiendo que el n´cleo est´ en
u
a
reposo, luego se calculan las funciones de onda electr´nicas, y usando esto se
o
obtiene informaci´n acerca de la posici´n y del movimientorelativamente lento
o
o
del n´cleo, esto se conoce como la aproximaci´n de Born-Oppenheimer.
u
o
En mec´nica cu´ntica, se puede emitir como un teorema. Suponiendo que el
a
a
hamiltoniano cambia gradualmente desde una forma inicial H i a alguna forma
Hf .
El teorema adiab´tico dice que si una part´
a
ıcula est´ inicialmente en el
a
n-´simo eigenestado de H i , ´ste ser´ llevado a unn-´simo eigenestado de H f .
e
e
a
e

2

2.

Prueba del teorema adiab´tico
a

Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, entonces la part´
ıcula inicia
en el n-´simo autoestado, ψn ,
e
Hψn = En ψn
permanece en el n-´simo autoestado simplemente colocando un factor de
e
fase:
ψn (t) = ψn e−iEn t/
Si el hamiltoniano var´ en el tiempo, entonces las eigenfunciones y los eiıagenvalores son dependientes del tiempo:
H(t)ψn (t) = En (t)ψn (t)
y aun constituyen (para cualquier instante) un conjunto ortonormal:
ψn (t)|ψm (t) = δnm
y es completo tambi´n, entonces, la soluci´n general a la ecuaci´n de Schroe
o
o
dinger dependiente del tiempo es:
∂
Ψ(t) = H(t)Ψ(t)
∂t
lo cual se puede expresar como una combinaci´n lineal:
o
i

Ψ(t) = Σcn (t)ψn (t)eiθn (t)
donde
θn(t) = −

t

1

En (t )dt
0

esto generaliza el factor de fase est´ndar para el caso en el que En var´ en
a
ıa
el tiempo.
Sustituyendo Ψ(t) en la ecuaci´n de Schrodinger:
o
i Σ[c˙n ψn + cn ψ˙n + icn ψn θ˙n ] = Σcn (Hψn )eiθn
aplicando la ecuaci´n de Schrodinger se simplifica un poco:
o
Σc˙n ψn eiθn = −Σcn ψ˙n eiθn
Haciendo el producto interno con ψm y usando la ortonormalidad delas
autofunciones:
Σc˙n δmn eiθn = −Σcn ψm |ψ˙n eiθn
Derivando la ecuaci´n de Schrodinger con respecto al tiempo se tiene:
o
˙
˙
Hψn + H ψ˙n = En ψn + En ψ˙n

3

haciendo nuevamente el producto interno con ψm :
˙
˙
ψm |H|ψn + ψm |H|ψ˙n = En δmn + En ψm |ψ˙n
explotando la hermiticidad de H para escribir ψm |H|ψ˙n = Em ψm |ψ˙n ,
sigue que para n = m :
˙
ψm |H|ψn = (En − Em ) ψm...