Aproximación de la distribución normal a la binomial

Aproximación de la distribución normal a la binomial
La distribución normal se puede utilizar como una aproximación de distribuciones discretas, en particular cuando el tamaño de la muestra"n" tiende a infinito, p y q cercanos a 0.5 se puede aproximar a la distribución binomial, con resultados altamente satisfactorios.

Sea X una variable aleatoria con distribución binomial, si nes grande, 0 < p < 1, la distribución binomial se puede aproximar a la distribución normal con media µ= np y varianza σ²= npq
.
La distribución normal tiene como fdp,

Por lo tanto ladistribución aproximada estará dada por:


lo que nos permite el cálculo de la siguiente probabilidad:



El teorema de Moivre (1.756) permite realizar esta aproximación considerando p=q=1/2 que lasvariables aleatorias sigan una distribución binomial con: . Este teorema fue generalizado posteriormente  por Laplace en 1.810 para distribuciones no simétricas p≠q .

Vimos que la variablealeatoria binomial  era el número de éxitos que tienen lugar cuando se realizan n repeticiones independientes de un experimento o prueba de Bernoulli. La variable aleatoria x puede escribirse como lasuma de n variables aleatorias de Bernoulli:





Si x es una variable aleatoria binomial, B(n,p) con:

media  
 desviación típica
entonces, cuando n → ∞  la variable aleatoria:



es decir:x→N(np,npq)  
En la práctica, decir que n es lo suficientemente grande, se traduce en: 


Lo que se hace es aproximar una distribución discreta, como es la binomial, a una distribución normalque es continua, y ya que en el caso continuo la probabilidad o masa asociada a un valor concreto de la variable aleatoria es nulo, tendremos que utilizar la corrección de continuidad de Fisherpara calcular la probabilidad deseada:

Probabilidad en B (n,p)                      Corrección de continuidad

P(X=x)                                                   P(x-1/2