Aproximación por Secantes

AIM Quiz

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Raices
Question 1

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Obtener una raiz de la función f(x) = cos( 10 x ) +0.1 en el intervalo [0,1] por el método de lasecante.
Entrar también la cuarta iteración resultante del proceso iterativo y dar los resultados con cuatro cifras
decimales correctas.
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The teacher's answer was:
⎡⎤
⎢ 0.773 0.795 ⎥
⎣
⎦

Solution:
Dados los puntos (xn, f(xn)) (aproximación actual) y (xn−1,f(xn−1)) (aproximación anterior), se quiere obtener
una nueva aproximación a una raíz de la funciónf : R → R (la raiz α no ha de estar necesariamente en el
intervalo definido por los valores xn y xn−1). Para ello se obtiene el punto de intersección con el eje x de la
recta que los une, tomando esepunto como siguiente aproximación, sin tener en cuenta los signos de
f(xn−1), f(xn) y f(xn+1). La fórmula que proporciona ese punto de intersección es: (ver apuntes de clase,
donde se obtuvoanalíticamente)
xn+1 = xn − f(xn)

xn − xn−1
,

n=1,2,...

f(xn) − f(xn−1)

Tiene orden de convergencia [(1+√5)/2] ≈ 1.618 (superlineal) y constante de error asintótico
⎛
⎝

f"(α)
2 f′(α)

⎞⎠

[(√5−1)/2]

≈

⎛
⎝

f"(α)
2 f′(α)

⎞
⎠

0.618

Llamando x0=a=0, x1=b=1 para arrancar el proceso, usamos la fórmula para calcular x2:
x2 = x1 − f(x1)

x1 − x0

1 − (0)
=0.5981279045

= 1 − (cos( 10 ) +0.1)
cos( 10 ) +0.1 − (1.1)

f(x1) − f(x0)

y las iteraciones que se obtienen son, llamando ek=xk−xk−1 para la estimación del error absoluto:

MÉTODO DE LASECANTE
k

xk

f(xk)

|ek | / | xk |

|ek |

1.618
|ek | / | ek-1 |

0 0.000000000000000 1.100000000000000 0.0000000000 0.0000000000

0.0000000000

2 0.598127904547791 1.0547714148483280.6718832083 0.4018720955

0.0000000000

3 0.834426851534068 -0.370878993657133 0.2831871320 0.2362989470

1.0328747074

4 0.772954336857497 0.224117361984038 0.0795292966 0.0614725147...