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Área de una superficie de revolución
Una superficie de revolucion se forma cuando se hace girar una curva en torno de una recta. Podemos imaginar que se desprende una capa externa muy delgada delcuerpo de revolucion y que la cascara se aplana para poder medir su area.

Cuando  sea positiva y tenga derivada continua, definimos al area superficial de la superficie obtenida al hacer girar lacurva  en torno al eje x


Con la notacion de Leibniz para derivadas la ecuacion se transforma en:


Si la curva se describe con la ecuacion  la ecuacion se convierte


Rotacion en torno eje yDonde  se refiere a :
 ó




EJEMPLO:
Encuentre el área de la superficie obtenida por la rotación de la curva en el eje X.
;
=>=
Entonces;

=> 
=>
Nuestro resultado o resultados,quedarían así:
=> o también podría quedar así: 
EJEMPLO:
Encuentre el área de la superficie obtenida por la rotación de la curva en el eje X.
; 
=>= 
Entonces;

De una vez hacemos lassustituciones;
 Y 
=> 
=>
=>
Finalmente, nuestro resultado sería:

Lo que aproximadamente corresponde a: 

Conceptos previos:
Es de suma importancia tener en cuenta el corolario del TeoremaFundamental del Cálculo que dice:

La fórmula para calcular el área de una superficie de revolución al rotar una función definida en el intervalo [a,b], alrededor del eje de las x está dada por:


Sólo pordar una idea, diremos que dicha fórmula se obtiene considerando que el radio en cada corte circular es el valor de  y por lo tanto cualquiera circunferencia tendría un perímetro igual a , pero habráque considerar esta medida a lo largo de toda la curva. El procedimiento formal de cálculo integral, utiliza límites de sumas de áreas de pequeñas arandelas o cortes circulares infinitesimales de lasuperficie de revolución, a lo largo de toda la curva.
Por ello en la fórmula aparece la expresión de la longitud de arco, puesto que para calcular toda el área, es necesario recorrer toda la curva....