APT11EcuacionesDiferenciales

Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Ecuaciones Diferenciales

Objetivos
UNIDAD VIII

Ecuaciones diferenciales
duración

Contenido temático
8.1Problema del valor inicial (PVI)
8.2 Método de Euler
8.3 Método de Euler modificado

3 hrs.

objetivos
•
•
•

Reconocer la importancia de los métodos
numéricos en la solución de ecuaciones
diferenciales
Definir, reconocer y emplear los métodosnuméricos para la solución de una
ecuación diferencial
Analizar y resolver problemas que
involucre una ecuación diferencial por
medio de métodos numéricos

Bibliografía del tema
Burden, pp. 249 a 342 capítulo 5
Chapra, pp. 703 a 852 parte 7: capítulos 25 a 28
Gerald, pp. 448 a 542 capítulo 6
Maron, pp. 437 a 516 capítulo 8
Nakamura, pp. 155 a 183 capítulo 5, 289 a 406 caps 9 y 10
Nieves, pp. 467 a 531:capítulo 7

NGJ/v06

Unidad VII

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Ecuaciones Diferenciales

8 Ecuaciones diferenciales
Introducción
Para una función: y = f (x ) la velocidad de cambio de y con respecto a x es su
derivada: dy .
dx
En cualquier proceso natural, las variables incluidas y sus velocidades de
cambio se relacionan entre sí mediante los principios científicos que gobiernanel
proceso.
El resultado de expresar en símbolos matemáticos estas relaciones, a menuda es
una ecuación diferencial.
Se llama ecuación diferencial aquella ecuación que contiene una variable
dependiente y sus derivadas con respecto a una o más variables independientes.
Una ecuación diferencial es ordinaria (EDO) si sólo tiene una variable
independiente, por lo que todas las derivadas que tiene sonordinarias o totales.
Existen procesos que se modelan mediante ecuaciones diferenciales. Por
ejemplos:
• El llenado de un tanque cilíndrico está en función del flujo que recibe:
d (Vδ ) G
=
δ
dt
• En una tubería, en un transitorio, el paso de flujo está en función de la
velocidad de apertura de la válvula.
• La aceleración de un objeto en movimiento está en función del cambio de
velocidad conrespecto al tiempo que efectúa el objeto.
8.1 Problema del valor inicial (PVI)
La ecuación diferencial ordinaria (EDO) de primer orden es:
dy
= f ( x, y )
dx
La solución de una EDO contiene una constante c, de tal forma la solución general de
una EDO de primer orden es:
F ( x, y , c ) = 0
Esta ecuación representa una familia de curvas en el plano x-y:

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Cada una de estas curvas corresponde a una solución particular de c.
Analíticamente la constante c se obtiene al contemplar que la solución de esa ecuación
pase por un punto (x0 , y0 ) ; esto es, que y (x0 ) = y0 , lo cual significa que la variable
dependiente y vale y0 cuando la variable independiente x vale x0 .
En los cursos de cálculo se estudiantécnicas analíticas para encontrar esa
solución. En la práctica, la gran mayoría de las ecuaciones no pueden resolverse
utilizando técnicas analíticas por lo que se resuelven por medio de métodos
numéricos.
Cuando se utilizan métodos numéricos, no se encuentran soluciones de forma
analítica, el propósito es encontrar los valores de y correspondientes a puntos
específicos de x sin tener que encontrar lafunción solución: F ( x, y, c) = 0 .
Entonces, para tener un valor inicial, el problema de valor inicial (PVI) por resolver
numéricamente se formula de la siguiente manera:
dy
a) Una ecuación diferencial de primer orden:
= f ( x, y )
dx
b) El valor de y en un punto conocido en x0 : (x0 , y0 )
c) El valor de x f donde se quiera conocer el valor de y ( y f )
Matemáticamente:

dy
= f ( x, y )
dx

PVIy (x0 ) = y0
y(y f ) = ?

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8.2 Método de Euler

[

]

Es el más simple. Consiste en dividir el intervalo: x0 , x f en n subintervalos de ancho h

h=

x f − x0
n

de esta forma se obtiene un conjunto de puntos discretos: x0 , x1 , x2 , ...., x f en donde:
xi = x0 + hi

0 ≤ i ≤ n.

La condición inicial...