Apunte 5 Marzo

Bolas abiertas
Sea d una m´etrica y x
¯0 un punto en Rn
(1) La bola abierta con centro en x
¯0 y radio r > 0, es el conjunto:
B(¯
x0 , r) = {¯
x ∈ Rn | x
¯−x
¯0 < r}

Conjuntos Abiertos
Definici´
on.Un conjunto V ⊂ Rn se dice que es abierto si para cada x
¯ ∈ V existe una bola abierta
B(¯
x, r) contenida en V . Es decir si para cada x
¯ ∈ V existe r > 0 tal que B(¯
x, r) ⊂ V .
Ejemplo:Mostraremos que una bola abierta es un conjunto abierto.

Demostraci´
on. Sea x0 ∈ Rn y sea r > 0. Vamos a ver que B(x0 , r) es un conjunto abierto. Sea
x ∈ B(x0 , r) proponemos R = r − x−x0 < r, por lo tantoR > 0 sea y ∈ B(x, R) se tiene entonces
que y − x < R por lo tanto
y − x0 = y − x + x − x0 ≤ y − x + x − x0 ≤ R + x − x0 = r
por lo tanto y ∈ B(x0 , r)
Ejemplo: El espacio Rn es un conjunto abierto,pues dado cualquier x
¯ ∈ Rn , toda bola abierta B(¯
x, r)
n
esta contenida en R .
Ejemplo: Mostraremos que el ∅ es abierto.
Demostraci´
on. Suponemos que el ∅ no es abierto ∴ ∃ x ∈ ∅ para el cual noes posible hallar una
bola abierta B(¯
x, r) contenida en ∅. Pero esto no es posible ya que el ∅ no tiene elementos.
Entonces suponer que el ∅ no es abierto ! ∴ ∅ es abierto.
Ejemplo: Mostraremos queel semiplano superior V = {(x, y) ∈ R2 |y > 0} es abierto respecto de la
norma
1.

1

Demostraci´
on. Sea v0 = (x0 , y0 ) ∈ V se tiene entonces que y0 > 0. Elegimos r = y0 consideremos
la bola abiertaB1 (v0 , y0 ) sea v = (x, y) ∈ B1 (v0 , y0 ) se tiene entonces que v − v0 < y0 es decir
|x − x0 | + |y − y0 | < y0 y queremos ver que y > 0 procederemos por contradicci´on
Primero supondremos que y=0se tiene entonces que
|x − x0 | + |y − y0 | = |x − x0 | + |y0 | < y0
es una contradicci´
on
Ahora procederemos a suponer que y < 0
|x − x0 | + |y − y0 | = |x − x0 | + (−y) + y0 < y0
es tambi´en unacontradicci´
on. Por lo tanto y > 0
Definici´
on: Sea A un subconjunto de Rn
(1) Un elemento a
¯ ∈ A se dice que es un punto interior de A, si existe una bola abierta con centro
en a
¯ contenida en A...