Apunte_Algebra_1er_Semestre_UChile

FACULTAD DE CIENCIAS
´
F´ISICAS Y MATEMATICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
´
Introducci´
on al Algebra
08-1

Departamento de Ingenier´ıa Matem´
atica - Universidad de Chile

Ingenier´ıa Matem´
atica

Importante: Visita regularmente
http://www.dim.uchile.cl/~algebra.
Ah´ı encontrar´as las gu´ıas de ejercicios
y problemas, adem´as de informaci´on
acerca de cu´
al ser´
a la din´amica del curso.
´
SEMANA 1:LOGICA

1.

L´
ogica

La l´
ogica le proporciona a las matem´aticas un lenguaje claro y un m´etodo preciso para
demostrar teoremas a partir de axiomas. Por ejemplo:
axiomas de Euclides, definiciones, nociones primarias de geometr´ıa cl´asica
+
l´
ogica
=
teoremas de la geometr´ıa euclidiana

Un ejemplo de noci´
on primaria es la de punto. Un ejemplo de axioma es el que dice que por
un puntoubicado fuera de una recta L pasa una y s´
olo una recta paralela a L.
Sin la l´
ogica los axiomas ser´ıan un mont´
on de verdades aceptadas, pero nada m´as. La
l´
ogica, sin embargo, les da sentido y permite concluir nueva verdades (teoremas) que antes no
conoc´ıamos. Un ejemplo de teorema: la suma de los ´angulos interiores de cualquier tri´
angulo
siempre es de 180◦.
Al ser la l´
ogica el punto departida de las matem´aticas, en ella se deben introducir nociones
primarias tales como proposici´
on, valor de verdad, conectivo l´
ogico.

1.1.

Proposiciones y valor de verdad

Definici´
on 1.1 (Proposici´
on l´
ogica). Una proposici´
on debe interpretarse como un enunciado que siempre toma uno de los valores de verdad posibles: verdadero (V ) o falso (F ).
Por ejemplo, en el contexto de laaritm´etica, “2+1=5” corresponde efectivamente a una
proposici´
on. M´
as a´
un, su valor de verdad es F .
T´ıpicamente notaremos a las proposiciones con letras min´
usculas: p, q, r, etc.

Algunos ejemplos:
“Estoy estudiando ingenier´ıa”.
“1≥ 0”.
“Est´a lloviendo en Valdivia”.

1.2.

Conectivos l´
ogicos

Los conectivos l´
ogicos sirven para construir nuevas proposiciones a partir de proposiciones
yaconocidas. El valor de verdad de la nueva proposici´
on depender´a del valor de verdad
de las proposiciones que la forman. Esta dependencia se explicita a trav´es de una tabla de
verdad.

1

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as r´
apida el material. Haz tambi´
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atica - Universidad de Chile

Definici´
on 1.2 (Negaci´on). La proposici´
on p se lee “no p” y es aquella cuyo valor de
verdad es siempre distinto al de p. Por ejemplo, la negaci´
on de “mi hermano ya cumpli´
o
quince a˜
nos” es “mi hermano a´
un no cumple quince a˜
nos”. Esto se explicita a trav´es de la
siguiente tabla de verdad.
p
V
F

p
F
V

Definici´
on 1.3 (O l´
ogico o disyunci´
on). La proposici´
on p∨q se lee “p o q”. Decimos que
p∨q esverdad, o que “se tiene p∨q”, cuando al menos una de las dos proposiciones, o bien p
o bien q, es verdadera. Por ejemplo, la proposici´
on “ma˜
nana llover´
a o ma˜
nana no llover´
a” es
verdadera. En otras palabras, tal como se aprecia en la siguiente tabla de verdad, si alguien
afirma que se tiene p ∨ q lo que nos est´
a diciendo es que nunca son simult´
aneamente falsas.
p
V
V
F
F

p∨q
V
V
V
F

q
VF
V
F

Definici´
on 1.4 (Y l´
ogico o conjunci´
on). La proposici´
on p ∧ q se lee “p y q”. Tal como
se aprecia en la siguiente tabla de verdad, si alguien afirma que se tiene p ∧ q, lo que nos
est´
a diciendo es que ambas proposiciones son verdaderas.
p
V
V
F
F

p∧q
V
F
F
F

q
V
F
V
F

Definici´
on 1.5 (Implicancia). Todos estaremos de acuerdo en considerar verdadera la
proposici´
on “si el se˜nor K est´
a en California entonces el se˜
nor K est´
a en Estados Unidos”.
¿Por qu´e?
Porque a uno no le importa d´
onde est´
a el se˜
nor K: podr´ıa estar en Texas o en China. Lo
u
´nico importante es que, si efectivamente “est´
a en Californa”, entonces podemos concluir,
con esa sola informaci´
on, que “est´
a en Estados Unidos”.
La proposici´
on p ⇒ q se lee “p implica q” o “si p entonces...