Apunte calculo 3

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y C.C.
TERCERA PRUEBA DE CÁLCULO AVANZADO 10007
Ingeniería Civil Primer Semestre 2012
(12/07/2012)
Problema 1:Resolver la integral  (1  e x )dx  ( x 2  cos y 2 )dy , si C es la curva cerrada, ubicada en el
primer cuadrante, conformada por los arcos de circunferencia de radios 1 y 2
respectivamente y porlos segmentos rectilíneos 1  x  2 , en eje x, 1  y  2 , en eje y.
Solución:
De acuerdo con el teorema de Green se tiene:

 (1  e

x




)dx  ( x 2  cos y 2 )dy    (cos y 2 x 2 )  (1  e x )dxdy   2 xdxdy
x
y

D 
D
1 Punto

Cambiando a coordenadas polares, queda:





r3 
14
14
2


2
xdxdy

2
(
r
cos)
rdrd


2
(
r
cos
)
drd


2
cos

d


sin

0 
D
*
0 1
0  3 
3
3
D
1
2 2

2

2

2

1 Punto
Problema 2:


Resolver la integral





3
 F dr , si F  ( x, y,z) es un campo vectorial en  , C es dada por

C

y  z  1, x  z comprendido entre los puntos A  (0,1,0) y B  (1,0,1) .
2

2

Solución:


Como el rotacional del campo F :

1

i
 F 
x
x

j

y
y



k

 (0,0,0) es nulo el campo es conservativo  existe  ( x, y, z ) tal
z
z



que F   ( x, y, z )
0.5 Puntos




 x,
 y,
 z .Integrando parcialmente la primera componente con
x
y
z

es decir

respecto a x, se obtiene:

 ( x, y, z ) 

x2
h
y2
 h( y, z )   ( x, y, z ) 
 y  h( y , z ) 
 g ( z)
2
y2

de modo que  ( x, y, z ) 

x2 y 2


 g ( z) 
( x, y, z )  g ' ( z )  z
2
2
z

Por lo tanto el potencial es  ( x, y, z ) 

x2 y 2 z 2


2
2
2
1 Punto

y laintegral queda:




 F dr   xdx  ydy  zdz   ( B)   ( A)   (1,0,1)  (0,1,0) 

C

C

1
2
0.5 Puntos

Problema 3:
Considere la región Q  3 limitada por los cilindros...