Apunte CAPITULO 6 COPELAND-WESTON

Capítulo 6 Equilibrio de Mercado: CAPM, APT
Sharpe [1963, 1964] y Treynor [1961]. Otros Mossin [1966], Linter [1965, 1969] y
Black [1972]. Ross [1976] es APT
La eficiencia del portafolio de mercado.

Todos los inversionistas seleccionan portafolios eficientes

Aún sin un activo libre de riesgo los inversionistas seleccionan portafolios eficientes.
Y ya que los inversionistas tienenproporciones positivas de su riqueza en portafolios
eficientes, entonces el portafolio de mercado debe ser eficiente por:
1) El mercado es la suma de las tenencias individuales.
2) Todas las tenencias individuales son suficientes cuando todos los individuos
tienen expectativas homogéneas ⇒ el portafolio de mercado debe ser eficiente.
B.

Derivación del CAPM

El conjunto de oportunidades dadopor las combinaciones de un activo riesgoso I
y el portafolio de mercado, M .

En equilibrio el portafolio de mercado consistirá de todos los activos marketable en
proporción a su valor de mercado:

wi =

Valor de mercado del activo individual i
Valor de mercado de todos los activos

Un portafolio que consiste de a % en el activo riesgoso I y (1 − a ) % en el portafolio
de mercadotendrá:
E ( RP ) = aE ( Ri ) + (1 − a) E ( Rm )
2
σ ( RP ) = ⎡ a 2σ i2 + (1 − a) 2 σ m + 2a(1 − a)σ im ⎤ 2
⎣
⎦

Varianza del

i

Varianza del
Portafolio de
Mercado

Covarianza

Los cambios en media y varianza respecto al porcentaje invertido en el activo i =
∂E ( RP )
= E ( Ri ) − E ( Rm )
∂a
−1
∂σ ( Rp ) 1 2 2
2
= ⎡ a σ i + (1 − a ) 2 σ m + 2a (1 − a)σ im ⎤ 2
⎣
⎦
∂a
2
2
2× ⎡ 2aσ i2 − 2σ m + 2aσ m + 2σ im − 4aσ im ⎤
⎣
⎦

Sharpe y Treynor establecieron que en equilibrio el portafolio de mercado ya tiene el
peso, wi , invertido del activo I . Entonces el porcentaje a es el exceso de demanda por
un activo riesgoso individual. Pero como se sabe que en equilibrio todos los excesos de
demanda para cualquier activo son cero, entonces las ecuaciones anterioresdeben
evaluarse donde el exceso de demanda sea cero.

∂E ( RP )
= E ( Ri ) − E ( Rm )
∂a a =0
2
σ −σm
∂σ ( RP )
1 2 −1
2
= (σ m ) 2 (−2σ m + 2σ im ) = im
σm
∂a a =0 2

⇒ la pendiente es :
E ( Ri ) − E ( Rm )
∂E ( RP ) / ∂a
=
2
∂σ ( RP ) / ∂a a =0 (σ im − σ m ) / σ m
Y la pendiente del conjunto de oportunidades IMI ' (del activo i y el portafolio M) debe
ser igual a la pendientede la CML , R f M .
E ( Rm ) − R f

σm

=

E ( Ri ) − E ( Rm )
2
(σ im − σ m ) / σ m

σ

E ( R i ) = R f + ⎡ E ( Rm ) − R f ⎤ im
⎣
⎦σ2
m

El cual se conoce como el CAPM y gráficamente:

El Capital Asset Pricing Model

El rendimiento requerido sobre cualquier activo, E ( R i ) es igual a la tasa libre de riesgo
más un Premio por Riesgo.
El premio por Riesgo es el Precio delRiesgo multiplicado por la cantidad de riesgo.
El precio del riesgo (de acuerdo al CAPM) es la pendiente de la línea, la diferencia entre
la tasa de rendimiento esperada del portafolio de mercado y la tasa libre de Riesgo.
La cantidad de Riesgo es la beta

βi =

σ im Cov( Ri , Rm )
=
2
Var ( Rm )
σm

La tasa libre de riesgo tiene beta de cero. La Beta del portafolio de mercado es de1.

Propiedades del CAPM

1/a propiedad.

En equilibrio todo activo debe tener un precio y entonces su tasa de rendimiento
requerida ajustado por riesgo caerá en la SML.
El riesgo total de un activo individual puede dividirse en 2 partes.
Riesgo Sistemático: Es una medida de cómo el activo covaría con la
economía.
Riesgo no Sistemático: Es independiente de la economía.
Matemáticamente:R j = a j + b j Rm + ε j
con
Cov( Rm , ε j ) = 0
2
⇒ σ 2 = b 2σ m + σ ε2
j
j

Sistemático

No Sistemático

Prueba de la regresión:
En este con

R j − a j − b j Rm = ε j

Aplicando la varianza

σ ε2 = E ⎡( R j − a − b j Rm ) − ( E ( R j ) − a j − b j E ( Rm ) ) ⎤
⎣
⎦
σ ε2 = E ⎡( R j − E ( R j ) − b ( Rm − E ( Rm ) ) ) ⎤
⎣
⎦

2

2

2
2
σ ε2 = σ R − 2bCov( R j ,...