Apunte Charla Maxwell

Liliana I. Perez – Física II- Dpto. de Física- Facultad de Ingeniería- UBA (2004)

APUNTE: Ecuaciones de Maxwell
Alrededor de 1860, el gran físico escocés James Clerck Maxwell dedujo
que las leyes experimentales de la electricidad y el magnetismo (leyes de
Coulomb, Gauss, Biot-Savart, Ampere y Faraday) podían resumirse de una
forma matemática concisa que hoy es conocida como Ecuaciones deMaxwell.
En una de ellas (la de Ampere) aparecía una inconsistencia que Maxwell fue
capaz de eliminar. Además, los experimentos individuales que condujeron a las
leyes nunca dieron una indicación de sus implicaciones, entre ellas la existencia
de ondas electromagnéticas.

Diferencial
! !
∇⋅B = 0

Integral
! !
B
∫∫ ⋅ dA = 0
S

! !
∇ ⋅ D = ρ libre

! !
D
∫∫ ⋅ dA = Qlibre encerrada
S

!
! !
∂B
∇×E = −
∂t

!!
d
E
∫ ⋅ d l = − dt
C (S )

!
! ! ! ∂D
∇×H = J +
∂t

! !
d
H
∫ ⋅ d l = I conduc + dt
C (S )

! !
B
∫∫ ⋅ dA
S

! !
D
∫∫ ⋅ dA
S

!
E
! : vector intensidad de campo eléctrico
D
! : vector desplazamiento eléctrico
B! : vector inducción magnética
H
! : vector campo magnético
J : vector densidad de corriente
ρ libre : densidad volumétrica de carga libre
I conduc : corriente de conducción

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Las 2 primeras ecuaciones (llamadas Ley de Gauss (1777-1855) para
campos magnéticos y Ley de Gauss para campos eléctricos) relacionan cómo se
extienden los campos magnéticos y eléctricos, respectivamente por el espacio
estando presentes sus fuentes. La tercera y la cuarta relacionan los campos
eléctricos y magnéticos cuandoellos dependen del tiempo. (Apéndice I)
! !

1. La primera ( ∇ ⋅ B = 0 ) proviene del hecho de que no se han encontrado
monopolos magnéticos (polos aislados), ni siquiera para campos
magnéticos dependientes del tiempo. Es decir, experimentalmente se
ha observado que siempre las líneas de campo magnético no divergen
de ningún punto ni convergen a ningún punto, es decir, su divergencia
es nula(forma diferencial). O lo que es equivalente, que el flujo de
campo magnético a través de cualquier superficie cerrada es nulo
(forma integral).
! !

2. La segunda ( ∇ ⋅ D = ρ L ) es una generalización de la Ley de Coulomb
(1736-1806). La Ley de Coulomb es sólo válida para cargas estáticas,
mientras que la Ley de Gauss vale también para campos que varían
con el tiempo, es decir, cargas noestacionarias. Esta ley describe cómo
convergen las líneas de campo sobre una carga negativa, y cómo
divergen desde una carga positiva (forma diferencial). Es lo mismo
interpretarla como que el flujo del vector desplazamiento a través de
una superficie cerrada es numéricamente igual a la carga libre
encerrada (no carga inducida). Es una consecuencia de la Ley de
Coulomb.
3. La tercera es la Ley de Faraday(1791-1867). Es históricamente
posterior a la de Ampere, y establece que todo campo magnético que
varíe con el tiempo inducirá un campo eléctrico. (Apéndice I)
4. La Ley de Ampere (1775-1836) original describe la relación entre el

campo magnético y la corriente que la origina. Es decir, la electricidad
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producemagnetismo (hilo por el que circula corriente). Sin embargo
Maxwell (1831-1879) introdujo un término adicional, que corresponde
a la llamada corriente de desplazamiento. En la Ley de Ampere
original había una falla cuando las corrientes eran variables, que
Maxwell solucionó. (Apéndice I)
En 1822, Faraday quería convertir el magnetismo en electricidad, ya que
la electricidad producía magnetismo.Recién lo logró en 1831 (inducción
electromagnética).
Aclaración: En general, se encuentran expresiones de las ecuaciones de
Maxwell donde no aparecen los campos desplazamiento ni magnético, pero sí
aparecen constantes. En realidad las ecuaciones de Maxwell aquí expuestas son
generales, ya que no suponen ninguna propiedad de los materiales donde hay
campos.
Estas leyes juegan en el electromagnetismo...