Apunte curvas sup e integrales Wolanski

Curvas, Superficies e Integrales

Gabriel Acosta y Noem´ı Wolanski

´Indice general
Preliminares

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Cap´ıtulo 1. Curvas
1. Parametrizaciones y suavidad
Ejercicios
2. Longitud de una curva
Ejercicios
3. Integral de longitud de arco
Ejercicios
4. Integrales curvil´ıneas
Ejercicios

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Cap´ıtulo 2. Superficies
1. Parametrizaciones y suavidad
Ejercicios
2. Area de unasuperficie
3. Integral de superficie
4. Orientaci´
on de superficies y flujo a trav´es de una superficie
Ejercicios

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Bibliograf´ıa

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3

Preliminares
En estas notas se presentan los temas de curvas, superficies e integrales sobre curvas y
superficies como se dar´ıan en un primer curso para alumnos de An´alisis II / Matem´atica 3 en
la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales dela UBA.
Se trata de presentar los temas sin un exagerado formalismo pero sin perder las ideas
geom´etricas subyacentes.
Por lo tanto, se trata de evitar identificar una curva o una superficie con una parametrizaci´
on
de la misma. Del mismo modo, se busca que las definiciones de recta (resp. plano) tangente sean
intr´ınsecas a la curva (resp. superficie).
En el caso de curvas, siguiendo el librode Apostol [1] se define rectificabilidad y longitud de
una curva en forma intr´ınsecas y se prueba la f´ormula que permite calcular la longitud a partir
de una parametrizaci´
on.
Con la misma l´
ogica, se define la integral con respecto a longitud de arco de una funci´
on
cont´ınua, y correspondientemente, la integral curvil´ınea de un campo en forma intr´ınseca a partir
de motivaciones f´ısicassobre el inter´es de estos c´alculos. Las f´ormulas para el c´alculo utilizando
parametrizaciones es una consecuencia inmediata de las definiciones y de las f´ormulas para la
longitud.
En el caso de superficies, se define el plano tangente en forma intr´ınseca y luego se obtiene
su ecuaci´on a partir de una parametrizaci´on. El c´alculo del ´area se sugiere hacerlo utilizando
una parametrizaci´
onsiguiendo, por ejemplo, el libro de Marsden y Tromba [3].
Como en el caso de curvas, una vez que se tiene una forma de calcular el ´area, las definiciones
de integral de superficie de una funci´
on continua y de flujo de un campo a trav´es de una superficie
se realizan a partir de aplicaciones f´ısicas y puede hacerse de manera ‘bastante’ intr´ınseca.
Agregamos en cada cap´ıtulo los ejerciciosque se sugieren a los alumnos sobre estos temas.
El curso concluye con los Teoremas del C´alculo Integral (Green, Stokes y Gauss) y aplicaciones al modelado de fen´
omenos de la f´ısica (Ley de conservaci´on de masa, Ecuaci´on del Calor,
Ecuaciones de Maxwell). No incluimos estos temas que est´an muy bien expuestos en [3].

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CAP´ıTULO 1

Curvas
1.

Parametrizaciones y suavidad

´ n 1.1. Unacurva C ⊂ R3 es un conjunto de puntos en el espacio que puede
Definicio
describirse mediante un par´
ametro que var´ıa en forma continua en un intervalo de la recta.
M´as precisamente, C es una curva si existen funciones x(t), y(t), z(t) definidas en alg´
un
intervalo [a, b] tales que (x, y, z) ∈ C si y s´olo si existe t ∈ [a, b] tal que


x = x(t),
y = y(t),


z = z(t)
Llamemos σ : [a, b] → R3 ala funci´on σ(t) = x(t), y(t), z(t) . Entonces, C es la imagen por
σ del intervalo [a, b]. σ se llama una “parametrizaci´on de C ”.
El ejemplo m´
as elemental de curva en el plano es el gr´afico de una funci´on continua f :
[a, b] → R. El gr´
afico es una curva que admite la parametrizaci´on, con t ∈ [a, b],
x(t) = t
y(t) = f (t)
Pero, a´
un en el plano hay curvas que no son el gr´afico deninguna funci´on. Por ejemplo, una
circunferencia. Para un ejemplo en el espacio ver la figura 1.
Uno de los conceptos importantes al tratar con curvas es el de recta tangente a la curva en
un punto P0 ∈ C. Se trata de la recta por P0 que mejor aproxima a C en un entorno de P0 .
Este concepto ya se vi´
o en el caso en que C ⊂ R2 es el gr´afico de una funci´on. Recordemos su
definici´on que es v´
alida...