Apunte De Series

CRITERIO DE SERIES GEOMETRICAS
Dr. Freddie Santiago Matemáticas UPRM
¿Qué es una serie geométrica?
Una serie geométrica es una serie infinita en donde la razón entre términos
consecutivos esconstante. Esa razón constante tradicionalmente se identifica
con r . El primer término de la serie tradicionalmente se identifica con a . Las
constantes r y a pueden ser positivas o negativas. La fórmula deuna serie
geométrica siempre se puede escribir en la forma normal:
∞

ar n
∑
n

−1

= a + ar + ar 2 + ar 3 + ar 4 + …

=1

Ejemplo 1
n −1

∞

Considerar la serie:

2
3 
∑
n =1  5 

=3+

6 12 2448
96
+
+
+
+
+…
5 25 125 625 3025

La razón entre términos consecutivos es siempre 2 :
5
6 / 5 12 / 25 24 /125 48 / 625 96 / 3025
2
=
=
=
=
=…=
3
6 /5
12 / 25
24 /125
48 / 625
5

Esta serie esgeométrica, con r =

2
y a = 3.
5

Ejemplo 2
∞

Considerar la serie:

n

1

2

3

4

5

∑ 2n + 1 = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + …
n
=1

La razón entre términos consecutivos no es constante:
2 /5 2 3 6
=
=
1/3 5 1 53 / 7 3 5 15
=
=
2 / 5 7 2 14
4 / 9 4 7 28
=
=
3 / 7 9 3 27
…

Esta serie no es geométrica.

Criterio De Series Geometricas (CSG):
∞

ar n
∑
n

a. Si r < 1 , la serie geométrica

−1

CONVERGE. Susuma es: S =

=1

∞

ar n
∑
n

b. Si r ≥ 1 , la serie geométrica

−1

a
1−r

DIVERGE.

=1

Por si las moscas: El Criterio de Series Geométricas se puede aplicar solamente a
series geométricas. Usaremosotros criterios para otros tipos de series.
Ejemplo 1
n −1

∞

Considerar la serie:

 2
4− 
∑
n =1  3 

=4−

Esta es una serie geométrica con: r = −

8 16 32 64 128
+
−
+
−
+…
3 9 27 81 243

2
ya = 4.
3

2 2
= < 1 , esta serie CONVERGE POR EL CRITERIO DE SERIES
3 3
GEOMETRICAS.
a
4
12
Su suma es: S =
=
=
.
1−r
 2 5
1− − 
 3

Como r = −

Ejemplo 2
∞

Considerar la serie:

n −1

5
2
∑
n =1  3 

=2+

Esta es una serie geométrica con: r =

10 50 250 1250 6250
+
+
+
+
+…
3
9
27
81
243

5
y a = 2.
3

5 5
= ≥ 1 , esta serie DIVERGE POR EL CRITERIO DE SERIES
3 3
GEOMETRICAS.
Como...