Apunte de trigonometría

Matemática - Trigonometría
1) Calcular el otro lado del triángulo ABC, empleando el Teorema del coseno y tablas de valores naturales:
"El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de dichos lados por el coseno del ángulo que forman".
|  |Lado |Lado |Angulo |C ² = A ² + B ²- 2.A.B.cos c |
| | | | |A ² = B ² + C ² - 2.B.C.cos a |
| | | | |B ² = A ² + C ² - 2.A.C.cos b |
|a - |A = |11 cm |B = |6 cm |c = |42° | |
|b - |A = |7 m |C = |8 m|b = |52° 20´ | |
|c - |B = |10 cm |C = |15 cm |a = |123° 40´ | |

[pic]

a -

C ² = A ² + B ² - 2.A.B.cos c
C ² = (11 cm) ² + (6 cm) ² - 2.(11 cm).(6 cm).cos 42°
C ² = 121 cm ² + 36 cm ² - 132 cm ².0,7431
C ² = 58,9049 cm ²

C = 7,675 cm

b -

B ² = A ² + C ² -2.A.C.cos b
B ² = (7 m) ² + (8 m) ² - 2.(7 m).(8 m).cos 52° 20´
B ² = 49 m ² + 64 m ² - 112 m ².0,6111
B ² = 44,5605 m ²

B = 6,675 m

c -

A ² = B ² + C ² - 2.B.C.cos a
A ² = (10 cm) ² + (15 cm) ² - 2.(10 cm).(15 cm).cos 123° 40´
A ² = 100 cm ² + 225 cm ² - 300 cm ².(-0,5544)
A ² = 491,3081 cm ²

A = 22,165 cm

 
2) Resolver las siguientes identidades:
a) tg α + cotg α =1/(sen α .cos α)
[pic]
b) (sen α + cos α) ² + (cos α - sen α) ² = 2
sen ² α + 2.sen α.cos α + cos ² α + sen ² α - 2.sen α.cos α + cos ² α = 2
sen ² α + cos ² α + sen ² α + cos ² α = 2
(sen ² α + cos ² α) + (sen ² α + cos ² α) = 2
1 + 1 = 2
c) (1 + cos α).(1 - cos α)/cos α = sec α - cos α
[pic]
d) sen4 α - sen ² α = cos4 α - cos ² α
[pic]
e) (cos ² α - sen ² β)/(sen ² α .sen ²β) = tg ² (π /2 - α).tg ² (π /2 - β) - 1
[pic]
[pic]
f) [sen (α + β) + cos (α - β)]/[sen (α - β) - cos (α + β)] = (sen α + cos α)/(sen α - cos α)
[pic]
g) cos (α + β).cos (α - β) = cos ² α - sen ² β
[pic]
h) [tg (α + β) + tg (α - β)]/(1 + tg ² β) = 2.tg α /(1 - tg ² α .tg ² β)
[pic]
i) 1/(1 + tg ² α) = cos ² α
[pic]
3) Resolver los siguientes triángulos rectángulos:
|a - |a =27,6 m |c - |b = 75 cm |
| |α = 40° 57´ 24" | |α = 30° 19´ 47" |
|b - |a = 33,40 m |d - |b = 4,20 cm |
| |c = 42,18 m | |c = 17,15 cm |

[pic]

a -

sen α = a/c ⇒ c = a/sen α ⇒ c = 27,6 m/sen (40° 57´ 24") ⇒ c = 27,6 m/0,655 ⇒ c = 42,11 m
tg α = a/b ⇒ b = a/tg α ⇒ b = 27,6 m/tg (40°57´ 24") ⇒ b = 27,6 m/0,868 ⇒ b = 31,80 m
α + β + 90° = 180° ⇒ β = 180° - α - 90° ⇒ β = 180° - 40° 57´ 24" - 90° ⇒ β = 49° 2´ 36"

b -

cos β = a/c ⇒ arccos (a/c) = β ⇒ β = arccos (33,40 m/42,18 m) ⇒ β = arccos 0,79184448 ⇒ β = 37° 38´ 30"
sen α = a/c ⇒ arcsen (a/c) = α ⇒ α = arcsen (33,40 m/42,18 m) ⇒ α = arcsen 0,79184448 ⇒ α = 52° 21´ 30"
c ² = a ² + b ² ⇒ b ² = c ² - a ² ⇒ b ² =(42,18 m) ² - (33,40 m) ² ⇒ b ² = 1779,15 m ² - 1115,56 m ² ⇒ b ² = 663,59 m ²
b = 25,76 m

c -

cos α = b/c ⇒ c = b/cos α ⇒ c = 75 cm/cos (30° 19´ 47") ⇒ c = 75 cm/0,863 ⇒ c = 86,89 cm
tg α = a/b ⇒ a = b.tg α ⇒ a = 75 cm.tg (30° 19´ 47") ⇒ b = 75 cm.0,585 ⇒ b = 43,88 cm
α + β + 90° = 180° ⇒ β = 180° - α - 90° ⇒ β = 180° - 30° 19´ 47" - 90° ⇒ β = 59° 40´ 13"

d -

cos α = b/c ⇒ arccos(b/c) = α ⇒ α = arccos (4,20 cm/17,15 cm) ⇒ α = arccos 0,24489796 ⇒ α = 75° 49´ 27"
sen β = b/c ⇒ arcsen (b/c) = β ⇒ β = arcsen (4,20 cm/17,15 cm) ⇒ β = arcsen 0,24489796 ⇒ β = 14° 10´ 33"
c ² = a ² + b ² ⇒ a ² = c ² - b ² ⇒ a ² = (17,15 cm) ² - (4,20 cm) ² ⇒ a ² = 294,12 cm ² - 17,64 cm ² ⇒ a ² = 276,48 cm ²
a = 16,63 cm
4) Resolver los siguientes triángulos:
|a - |A = 325 m...