Apunte De C Lculo

Coordinacion
´ de Matem´atica II (MAT022)
Campus Santiago San Joaqu´ın
Apuntes de clases
´
Calculo

La diferencial
´ diferenciable f (x). La recta tangente al
Considere el punto P = (a, f (a)) sobre la gr´afica de una funcion
gr´afico de f en el punto P esta dada por
y = f (a) + f (a) (x − a)
´ p (x) = f (a) + f (a) (x − a) es un polinomio de grado ≤ 1.
como f (a) y f (a) son constantes lafuncion
˜ numero
´
Considere un pequeno
∆x y como entrada a + ∆x (que entonces esta cercano a a) entonces
p (a + ∆x)

=

f (a) + f (a) (a + ∆x − a)

= f (a) + f (a) ∆x
´
el cambio en f es por definicion
∆f ≡ f (a + ∆x) − f (a)
entonces
f (a + ∆x) = f (a) + ∆f
Las cantidades p (a + ∆x) = f (a) + f (a) ∆x y f (a + ∆x) = f (a) + ∆f son parecidas si y solo si f (a) ∆x
´ f (a) ∆x es llamada diferencial ycomo veremos es una aproximacion
´ de ∆f.
y ∆f son parecidas. La expresion
´ diferenciable y a un numero
´
Definicion
´ 1.1. Sean y = f (x) una funcion
en el dominio de f . Llamaremos la
diferencial de f en a a la cantidad f (a) ∆x. esta ser´a denotada por df o dy.
´ de diferencial hay dos variables independientes a y ∆x.
Observacion
´ 1.1. En la definicion
´ de ∆f .
Mostremos que df es en efecto unaaproximacion
´
Error de aproximacion

=

∆f − df

= f (a + ∆x) − f (a) − f (a) ∆x
f (a + ∆x) − f (a)
− f (a) ∆x
=
∆x
si ∆x → 0 entonces

f (a + ∆x) − f (a)
− f (a) → 0
∆x
´ tiende a cero.
se sigue que el error en la aproximacion
´ de diferencial, de esta forma se escribe
Es frecuente utilizar x en lugar de a en la definicion
df = f (x) ∆x
donde x y ∆x son independientes.

´
Universidad TecnicaFederico Santa Mar´ıa
´
Departamento de Matematica

´ para la derivada de inmediato conocemos una expresion
´ para la
Note que si se conoce una expresion
diferencial
d x3

=

3x2 ∆x

d (tan x)

=

sec2 x∆x

d (x)

=

∆x

´
´ se acostumbra escribir dx = ∆x y la diferencial de f se escribe
por la ultima
expresion
df = f (x) dx
o
dy = f (x) dx
note que los s´ımbolos dy y dx tienen un significadopropio y tiene sentido dividir por dx de aqu´ı surge la
´
notacion
dy
= f (x)
dx
para las derivadas en donde estamos viendo dy/dx efectivamente como un cociente de diferenciales.

Teorema
Sean f y g funciones diferenciables entonces:
1. d (f + g) = df + dg
2. Si α ∈ R entonces d (αf ) = αdf
3. d (f g) = (df ) g + f (dg)
4. d

f
g

=

(df )g−f (dg)
g2

5. d (f ◦ g) = f (g) dg

´ p (x) = f (a) + f (a) (x− a) es llamada linealizacion
´ de f (x) en a y representa la
Definicion
´ 1.2. La expresion
´ mediante una recta que se puede hacer para f cerca de a.
mejor aproximacion

Ejercicios resueltos
´ de f en a.
1. Calcular f (a + ∆x) y p (a + ∆x) cuando f (x) = x3 , a = 1, ∆x = 0,1 y p (x) es la linealizacion
Solucion:
´ Como a + ∆x = 1,1 se sigue
3

f (1,1) = (1,1) = 1,331
y
p (1,1)

=

f (1) + f (1)(0,1)

=

1 + 3 (0,1)

=

1,3

´ de f (a + ∆x).
notar que p (a + ∆x) da una buena aproximacion
´ de f (x) = tan x en x =
2. Encontrar la linealizacion
Solucion:
´ Como f

π
4

=1yf

π
4

= sec2

π
4

π
4.

´ es
= 2 se tiene que la linealizacion

y =1+2 x−

´
MAT022 (Calculo)

2

π
4
N.C.F.

´
Universidad Tecnica
Federico Santa Mar´ıa
´
Departamento de Matematica

3. Aproximar el valor de

√
329

√
√
´ f (x) = 3 x, a = 27 y ∆x = 2 se sigue que una aproximacion
´ para 3 29 es
Solucion:
´ Utilizando la funcion
√
3
29 ≈ f (27) + f (27) ∆x
1
≈ 3+
22
3 (3)
≈ 3,0741
(el valor aproximado que entrega la calculadora es 3,0723).

4. El error al medir el lado de un cubo es a lo sumo de 1 %. ¿Qu´e porcentaje de error se obtiene al estimar el
volumen de un cubo?
Solucion:
´ Sea x la longitud dellado del cubo y ∆x el error que se comete al aproximar x entonces
dx
< 0,01
x
si dV es el error en el volumen del cubo entonces el error relativo al aproximar el volumen es
dV
V
pero note que V = x3 entonces dV = 3x2 dx se sigue
dV
3x2 dx
dx
=
=3
< 0,03
V
x3
x
luego el error relativo es menor al 3 %.
5. El radio r de un c´ırculo crece de 10 a 10,2 metros estimar el crecimiento del a´ rea del...