Apunte Derivadas

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Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC.

1.

Introducción

El concepto fundamental del Cálculo Diferencial en una variable real es el de derivada.
Éste fue construido en el siglo XVII, en forma independiente, por Isaac Newton y Gottfried Leibniz y proporciona la herramienta que permite
resolver el problema de la determinación de una
recta tangente a una curva dada (ver figura allado), como también darle sentido al concepto
de velocidad instantánea para el movimiento de
un cuerpo sobre una línea recta.
El concepto de derivada se define a partir de la noción de límite estudiada en el
curso anterior. Ilustramos esta idea con la siguente discusión que conduce al concepto
físico de velocidad instantánea:
Vamos a estudiar el movimiento de un móvil sobre una línea recta L(movimiento
rectilíneo), entendiendo que cada punto sobre L está representado por un número
real. De este modo, en cada instante t, la posición del móvil sobre L está determinada
por un número real x (t). Esto corresponde a describir el movimiento mediante una
función
x : [a, b] → R , t → x (t)
llamada función posición.
Para que la siguiente discusión sea más simple de entender, supondremos que el
móvilse desplaza de izquierda a derecha sobre L.
En el intervalo de tiempo [t0 , t] se define la velocidad media por
vM =

x (t) − x (t0 )
distancia recorrida
=
t − t0
tiempo transcurrido

lo que puede representarse también por

∆x
, donde
∆t
∆x = x (t) − x (t0 ) , ∆t = t − t0
vM =

x(to)
0

1

x(t)
x

Este concepto corresponde sólo a una velocidad promedio en un intervalo de tiempo.

Héctor PalmaValenzuela. Dpto. de Matemática UdeC.

2

Por ejemplo, si el móvil recorre 1000 metros en 50 segundos, su velocidad media fue
o 72 Km
. Si se tratara de un automovil sabemos que la medición de su
de 20 mts
seg
h
velocímetro podría haber cambiado durante esos 50 segundos (por ejemplo, parte
del reposo y alcanza rápidamente una velocidad de 100 Km
). ¿De qué manera queh
da entonces definida la“velocidad instantánea” que marca el velocímetro en cada
instante?
La idea básica es que, considerando el instante t0 fijo, para un tiempo posterior t
muy poco mayor que t0 , el intervalo [t0 , t] es muy pequeño y por tanto su velocidad
casi no cambia, lo que permite considerar la velocidad instantánea en t0 practicamente igual a la velocidad media en el intervalo [t0 , t]. Esto hace razonable definir
lavelocidad instantánea en t0 por
v (t0 ) = l´ım

t→t0

x (t) − x (t0 )
∆x
= l´ım
t→t0 ∆t
t − t0

que es simplemente la derivada de la función posición en el instante t0 (en el entendido que este límite existe).

2.

La derivada

La idea geométrica para introducir el concepto de derivada de una función f, en
un punto a de su dominio, es la de recta tangente a la curva y = f (x) (gráfico de
f ) en elpunto (a, f (a)) .
Como caso concreto consideremos la parábola y = x2 . Esto sigy
nifica que la función f está definida
4
por f (x) = x2 . ¿Cómo definir la recta tangente a esta curva en el punto
(1, 1)?
2
De manera informal podemos
pensar en “dibujar” una recta que
toque a la curva exclusivamente en
este punto, tal como se aprecia en la
-3
-2
-1
1
2
3
x
figura.
Para llegar a esta recta se con-2sidera, para cada x = 1, la recta que
pasa por (1, 1) y por (x, f (x)), cuya
pendiente está dada por
mx =

f (x) − f (1)
x2 − 1
=
x−1
x−1

3

Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC.

Para un x muy próximo de 1, esta recta “secante” (de color verde) se aproxima a la
recta de color rojo, como se muestra en la figura de la página siguiente.
Por esto es razonable pensar que la pendiente de larecta roja esté dada por
f (x) − f (1)
x2 − 1
= l´ım
x→1
x→1 x − 1
x−1
= 2

m = l´ım

y así la ecuación de la recta tangente es
y − 1 = 2 (x − 1)
y = 2x − 1
y

8

7

6

5

4

3

2

1

-4

-3

-2

-1

O

1

2

3

4

x

En general, se da la definición de derivada para una función f : I → R, definida
en un intervalo abierto I, en un punto a ∈ I, como sigue.
Definición 1 La derivada de f en el...