Apunte Edo

U. DE CHILE

INGENIERIA

Universidad de Chile Escuela de Ingenier´ ıa Departamento de Ingenier´ Matem´tica ıa a

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS MA26A
Felipe Alvarez, Axel Osses, Leonardo S´nchez a

Ultima versi´n: Marzo del 2005 o

Prefacio
Este apunte tiene como base la experiencia de varios cursos consecutivos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias que se han dictado en elsegundo a˜ o de Ingenier´ de la Facultad de Ciencias F´ n ıa ısicas y Matem´ticas de la Universidad de Chile en el per´ a ıodo 2000-2004. A nuestro juicio, el principal atractivo del apunte es que incluye numerosos ejemplos de aplicaci´n al modelamiento sin descuidar o los fundamentos matem´ticos de la teor´ de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. a ıa Los Capitulos del 1 al 5 fueron concebidos apartir de los apuntes del curso del Profesor Axel Osses con la valiosa cooperaci´n de los alumnos de la carrera de Ingenier´ Civil Matem´tica Oscar Peredo o ıa a (Cap´ ıtulos 1 al 3) y Andre de Laire (Cap´ ıtulos 4 y 5). El material docente del Cap´ ıtulo 6 proviene de dos fuentes: la Secci´n 1 fue adaptada de un apunte del curso del Profesor Leonardo S´nchez por o a el alumno de la carrera deIngenier´ Civil Matem´tica Ricardo Menares (actualmente doctor´ndose ıa a a en Francia) y la Secci´n 2 fue adaptada de un apunte del curso del Profesor Felipe Alvarez, tambi´n o e por Ricardo Menares. Agradecemos a todos los que han participado en la confecci´n de este apunte as´ como los comeno ı tarios de alumnos que han ayudado a mejorarlo. Esperamos adem´s contar pr´ximamente con una a o versi´n delapunte que incluir´ et tema de C´lculo de Variaciones as´ como el desarrollo de m´s o a a ı a ejemplos de aplicaci´n. o F.Alvarez, A. Osses, L. S´nchez a Santiago, 21 de diciembre del 2004

´ Indice general
1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Elementales 1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2. Integraci´n Directa . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2.1. Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Variables Separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. EDO lineal de primer orden homog´nea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.5. EDO lineal de primer orden no homog´nea . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.5.1. Existencia y Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Ecuaciones reductibles a los casos elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Ecuaciones ”homog´neas” de alg´ n grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e u 1.6.2. Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1.6.3. Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4. EDO de segundo orden donde no aparece la variable dependiente . . . . . . 1.6.5. EDO de segundo orden donde no aparece la variable independiente . . . . . 1.7. Poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1. Modelo de Malthus . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2. Modelo malthusiano m´s realista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.7.3. Modelo log´ ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.4. Modelo cazador-presa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.5. Modelo epidemiol´gico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . o 1.7.6. Modelo de alelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Ecuaciones Exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de orden superior 3 9 9 12 14 15 17 18 19 23 23 25 26 26 27 27 27 29 31 33 34 35 35 41

2.1. Ecuaciones Lineales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . ....