Apunte Estructura de Bandas

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Estructura de Bandas en Sólidos
El llenado de bandas en conductores, aisladores y semiconductores puede verse en
los diagramas de densidad de estados de la figura mas abajo:

Las estructuras de bandas son el resultado de extensos cálculos computacionales,
donde las estructuras de bandas resultantes varían ligeramente dependiendo de lo
potenciales y el refinamiento utilizado. Laverificación experimental de las mismas
proviene del estudio óptico y espectroscópico de los materiales (como en el caso de la
estructura de orbitales moleculares).
El solapamiento de las bandas de menor energía (banda de valencia) y de mayor
energía (banda de conducción), la ocupación de las bandas y el ancho de banda prohibido
(band gap) determinan el comportamiento metálico, semiconductor oaislador (dieléctrico)
de un material.
Consideramos primero el polímero unidimensional poliacetileno infinito ….-CH=CHCH=CH-…. Podemos calcular la estructura de bandas con un método de orbitales moleculares
usando como base variacional funciones de Bloch de orbitales pz como en el método de Hückel.
La estructura de bandas calculada para el trans-(CH)x para distintas distancias C-C
se muestra en lafigura. (a) 1.39 Å, (b) débilmente alternados C=C 1,36 Å y C-C 1,43 Å, (c)
fuertemente alternados C=C 1,34 Å y C-C 1,54 Å. Nótese la banda prohibida en el punto Y
del espacio k. (P.M. Grant, I.P. Batra, Solid State Comm., 29, 225 (1979).

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El próximo problema que abordaremos es una extensión del anterior al sólido
bidimensional grafito (las hojas se denominan grafeno) que forma una redhexagonal con
planos conductores (uniones C-C de 120 grados sp2 en el plano trigonal de simetría D3d) y
orbitales moleculares formados por superposicion de los orbitales atómicos del carbono pz
todos paralelos entre sí en la hoja de grafeno. Dichos orbitales moleculares forman bandas.
También interactúan los planos por fuerzas de Van der Waals debidas a los electrones
móviles en los orbitalesπ y resulta una menor conductividad en el eje c (dirección z).

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Nótese que los átomos de C en planos sucesivos están corridos en una distancia
interatómica de modo de minimizar la repulsión electrónica de los lóbulos pz en sucesivos
planos. En el plano necesitamos tomar tres hexágonos como celda unidad para cumplir con
la simetría de translación.

En la figura comparamos la estructurade grafeno (c) con la molécula de etileno (d)
y los orgbitales moleculares del etileno (e) y un esquema de la estructura de bandas del
grafito (f). A diferencia con el etileno, los niveles π y π* no son discretos sino orbitales
moleculares de todo el sólido (bandas de muchísimos niveles de energías E(k). La banda de
valencia (inferior) esta llena y la banda de conducción está vacía, pero comoambas bandas
se solapan en 0,04 eV en la estructura tridimensional los electrones de valencia pueden ser
promovidos a la banda de conducción por lo que el grafito en es un semimetal, negro y
brillante.
La estructura de bandas calculada es mas compleja como se aprecia en la Figura:
(G.S. Painter, D.E. Ellis, Phys.. Phys. Rev., B1, 4747, (1970).

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Una interesante consecuencia de laestructura de bandas del grafito relacionada con
su estructura en capas en contacto de Van der Waals con espacio entre capas adyacentes es
la formación de compuestos de intercalación, es decir se pueden intercalar ciertos átomos
entre las capas. Por ejemplo C8Na y C8Br (Figura g).
Al intercalarse Na+ se inyectan electrones en la banda de conducción (Figura h) y se
extraen electrones o inyectanhuecos (h+ es una vacancia de electron) al intercalar Br-. Al
Na y Br los llamamos dopante donor y aceptor respectivamente. Como consecuencia se
corre el nivel de Fermi.
Ahora comparamos las estructuras del diamante, grafito con el C60 (fullereno) que
fue la primera molécula gigante descubierta, donde se combinan hexágonos sp2 con
pentágonos que tienen carácter sp3 como en el diamante y los...