Apunte Guias Incluidas

Apuntes
Matem´aticas IV (Primavera 2012)
´ticas
Universidad de Chile, Facultad de Ciencias, Departamento de Matema

Cap´ıtulo 1

Ecuaciones diferenciales (una introducci´
on)
1.

Definici´
on de ecuaci´
on diferencial

Definici´
on 1.1. Se dice que un
ecuaci´
on de la forma:

x


 1

x2
(1.1)
..

.



xn

sistema de ecuaciones diferenciales es una
=
=

f1 (t, x1 , . . . , xn )
f2 (t,x1 , . . . , xn )
..
.

=
= fn (t, x1 , . . . , xn )

donde fi : (a, b) × Ω ⊆ R × Rn → R (i = 1, . . . , n) y Ω ⊆ Rn es un conjunto abierto.
A veces, por simplicidad consideraremos una notaci´on equivalente para (1.1):
x = f (t, x),

(1.2)





x1
f1 (t, x1 , . . . , xn )




..
x =  ...  y f (t, x) = 

.
xn
fn (t, x1 , . . . , xn ).
Una mirada a (1.1) muestra que –en t´erminosgenerales– se trata de un sistema
de ecuaciones cuyas inc´ognitas son funciones y sus derivadas. Esta definici´on es muy
general y contiene diversos casos particulares muy importantes:
donde :

Definici´
on 1.2. Si todas las funciones fi no dependen explic´ıtamente de t, se dice
que (1.1) es un sistema aut´
onomo. En el caso contrario, se dice que (1.1) es un
sistema no aut´
onomo. Por lo tanto, unsistema aut´
onomo tiene la estructura
siguiente:

x1 = g1 (x1 , . . . , xn )



 x2 = g2 (x1 , . . . , xn )
(1.3)
..
..

. =
.



xn = gn (x1 , . . . , xn ),
donde gi : Ω ⊆ R × Rn → R (i = 1, . . . , n) y Ω ⊆ Rn es un conjunto abierto.
Como en el caso general, a veces es muy u
´ til considerar su expresi´on equivalente:
(1.4)

x = g(x).

Definici´
on 1.3. Si todas las funciones fi son linealescon respecto a x1 , x2 , . . . , xn ,
se dice que (1.2) es un sistema lineal. En el caso contrario diremos que es un
sistema no lineal. Por lo tanto, (1.2) es lineal si:
(1.5)

f (t, x + z) = f (t, x) + f (t, z)
3

y

f (t, λx) = λf (t, x),

´
1. ECUACIONES DIFERENCIALES (UNA INTRODUCCION)

4

para todo t ∈ (a, b),λ ∈ R, x ∈ Rn y z ∈ Rn .
Por ejemplo, veamos que:
x1
x2

(1.6)

= x2
= −x1

es unsistema lineal aut´onomo. En efecto, es aut´onomo dado que la parte izquierda
de (5.1) no depende explic´ıtamente de t. En cuanto a la linealidad, s´olo hay que
verificar que la funci´on g : R2 → R2 definida por:
g

x1
x2

=

x2
−x1

,

es lineal.
M´
as adelante, veremos que este sistema es una forma alternativa (y muy conveniente) del oscilador arm´onico estudiado en f´ısica.
En general, elsistema (1.1) el lineal si y s´olo si la funci´on f (t, x) admite una
representaci´
on de la forma:

 


f1 (t, x1 , . . . , xn )
a11 (t) a12 (t) · · · a1n (t)
x1
 f2 (t, x1 , . . . , xn )   a21 (t) a22 (t) · · · a2n (t)   x2 

 



=
  .. 
..
..





.
.
···
···
···
. 
fn (t, x1 , . . . , xn )

an1 (t)

an2 (t)

···

ann (t)

xn

Tambi´en notemos que:
x1
x2

(1.7)

=
=x2
−x1 + g(t)

es un sistema no lineal y no aut´onomo. M´as adelante, veremos que este sistema es
una forma alternativa para describir el oscilador arm´onico forzado.
Un ejemplo de sistema no lineal aut´onomo viene dado por:
x1
x2

= x1 (a1 − b11 x1 − b12 x2 )
= x2 (a2 − b21 x1 − b22 x2 ),

el cual se conoce como sistema de Lotka–Volterra, dicho sistema juega un papel
destacado en ecolog´ıate´orica.
Podemos realizar la siguiente clasificaci´on de sistemas de ecuaciones diferenciales:
Aut´onomo No Aut´onomo
Lineal
A
B
No Lineal
C
D
Los sistemas lineales aut´onomos (Caso A) han sido estudiados exhaustivamente
y ser´an uno de los objetivos principales de este curso (considerando n ≤ 3.). Su principal propiedad es que tienen n soluciones linealmente independientes, las cuales
pueden sercalculadas expl´ıcitamente (usando resultados de Valores propios o transformadas de Laplace).
Los sistemas lineales no aut´onomos (Caso B) tambien tienen n soluciones linealmente independientes. Sin embargo, su c´alculo expl´ıcito presenta complejidades
adicionales.
Los sistemas no lineales presentan (casos C y D) un nivel de complejidad mayor
cuando n ≥ 2 y s´olo veremos algunos t´opicos sencillos...