Apunte Matematica Aplicada Edp

Matem´atica Aplicada
Ecuaciones en Derivadas Parciales
Apunte de las materias
Matem´atica Aplicada
Ecuaciones en Derivadas Parciales
Posgrados de la Universidad Nacional del Litoral
Hugo Aimar, Bruno Bongioanni, Pedro Morin
6 de junio de 2012

Presentaci´
on
Este apunte contiene las notas del curso Matem´atica Aplicada, curso de posgrado para
la Facultad de Ingenier´ıa Qu´ımica y la Facultad deIngenier´ıa y Ciencias H´ıdricas de la
Universidad Nacional del Litoral. Este curso se dicta en paralelo con el curso Ecuaciones
en Derivadas Parciales, optativa de la Licenciatura en Matem´atica Aplicada, y de posgrado para el doctorado y la maestr´ıa en Matem´atica. En la secci´on Ejercicios de cada
cap´ıtulo hay problemas marcados con un asterisco. Estos problemas m´as te´oricos est´an
pensadospara los alumnos de estas u
´ltimas carreras. Los problemas marcados con dos
asteriscos son tambi´en para alumnos de estas carreras, pero son opcionales; si bien est´an
relacionados con los contenidos del cap´ıtulo correspondiente, no son tan importantes para
el objetivo del curso. Los alumnos del doctorado o la maestr´ıa en matem´atica deber´ıan
hacerlos.
Este apunte fue escrito durante eldictado de los cursos en el primer cuatrimestre
de 2011, y ser´a actualizado durante el dictado en el primer cuatrimestre de 2012. Cualquier sugerencia u observaci´on sobre errores ser´a agradecida por los autores del apunte y
tambi´en por los futuros alumnos del curso.

Santa Fe, marzo de 2012

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´Indice general
1. La integral como un promedio
1.1. Desplazamiento y velocidad .
1.2. Masa y densidad .. . . . . .
1.3. Valor medio en R . . . . . . .
1.4. Valor medio en R2 y R3 . . .
1.5. Aplicaciones . . . . . . . . . .
1.6. Valor medio generalizado . . .
1.7. Ejercicios . . . . . . . . . . .

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2. Integrales de l´ınea y de superficie
2.1. Integrales de l´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Integrales de superficie . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Algunos resultados del C´
alculo Vectorial
3.1. Definici´on de operadores diferenciales . .
3.2. Divergencia y flujo . . . . . . . . . . . .
3.3. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . .
3.4. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . .
3.5. Ejercicios .. . . . . . . . . . . . . . . .

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4. Coordenadas Generalizadas en el Espacio
4.1. Superficies coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Curvas coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Vectores normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. C´alculo de longitudes encoordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . .
4.5. C´alculo de ´areas de superficies coordenadas en coordenadas generalizadas
4.6. C´alculo de vol´
umenes de cubos con aristas que sean curvas coordenadas .
4.7. Los operadores diferenciales en coordenadas generalizadas . . . . . . . . .
4.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5.Leyes de conservaci´
on. Ecuaciones constitutivas
5.1. Leyes de conservaci´on. Balance . . . . . . . . . .
5.2. Relaciones constitutivas . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Reducci´on de dimensiones . . . . . . . . . . . . .
5.4. Condiciones iniciales y de borde . . . . . . . . . .
5.5. La ecuaci´on de Laplace y la ecuaci´on de Poisson .

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