Apunte Maxwell -Electromagnetismo

Liliana I. Perez – Física II- Dpto. de Física- Facultad de Ingeniería- UBA (2004)

APUNTE: Ecuaciones de Maxwell
Alrededor de 1860, el gran físico escocés James Clerck Maxwell dedujo que las leyes experimentales de la electricidad y el magnetismo (leyes de Coulomb, Gauss, Biot-Savart, Ampere y Faraday) podían resumirse de una forma matemática concisa que hoy es conocida como Ecuaciones deMaxwell. En una de ellas (la de Ampere) aparecía una inconsistencia que Maxwell fue capaz de eliminar. Además, los experimentos individuales que condujeron a las leyes nunca dieron una indicación de sus implicaciones, entre ellas la existencia de ondas electromagnéticas.

Diferencial
! ! ∇⋅B = 0 ! ! ∇ ⋅ D = ρ libre ! ! ! ∂B ∇×E = − ∂t
! ! ! ! ∂D ∇×H = J + ∂t

Integral
! ! B ⋅ dA = 0 ∫∫
S

!! D ⋅ dA = Qlibre encerrada ∫∫
S

! ! d E⋅ dl = − ∫ dt C (S )

! ! B ⋅ dA ∫∫
S

! ! d H ⋅ d l = I conduc + ∫ dt C (S )

! ! D ⋅ dA ∫∫
S

! E : vector intensidad de campo eléctrico ! D : vector desplazamiento eléctrico ! B : vector inducción magnética ! H : vector campo magnético ! J : vector densidad de corriente ρ libre : densidad volumétrica de carga libre I conduc : corriente deconducción

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Las 2 primeras ecuaciones (llamadas Ley de Gauss (1777-1855) para campos magnéticos y Ley de Gauss para campos eléctricos) relacionan cómo se extienden los campos magnéticos y eléctricos, respectivamente por el espacio estando presentes sus fuentes. La tercera y la cuarta relacionan los camposeléctricos y magnéticos cuando ellos dependen del tiempo. (Apéndice I) 1. La primera ( ∇ ⋅ B = 0 ) proviene del hecho de que no se han encontrado monopolos magnéticos (polos aislados), ni siquiera para campos magnéticos dependientes del tiempo. Es decir, experimentalmente se ha observado que siempre las líneas de campo magnético no divergen de ningún punto ni convergen a ningún punto, es decir, sudivergencia es nula (forma diferencial). O lo que es equivalente, que el flujo de campo magnético a través de cualquier superficie cerrada es nulo (forma integral). 2. La segunda ( ∇ ⋅ D = ρ L ) es una generalización de la Ley de Coulomb (1736-1806). La Ley de Coulomb es sólo válida para cargas estáticas, mientras que la Ley de Gauss vale también para campos que varían con el tiempo, es decir,cargas no estacionarias. Esta ley describe cómo convergen las líneas de campo sobre una carga negativa, y cómo divergen desde una carga positiva (forma diferencial). Es lo mismo interpretarla como que el flujo del vector desplazamiento a través de una superficie cerrada es numéricamente igual a la carga libre encerrada (no carga inducida). Es una consecuencia de la Ley de Coulomb. 3. La tercera es laLey de Faraday (1791-1867). Es históricamente posterior a la de Ampere, y establece que todo campo magnético que varíe con el tiempo inducirá un campo eléctrico. (Apéndice I)
4. La Ley de Ampere (1775-1836) original describe la relación entre el ! ! ! !

campo magnético y la corriente que la origina. Es decir, la electricidad
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produce magnetismo (hilo por el que circula corriente). Sin embargo Maxwell (1831-1879) introdujo un término adicional, que corresponde a la llamada corriente de desplazamiento. En la Ley de Ampere original había una falla cuando las corrientes eran variables, que Maxwell solucionó. (Apéndice I) En 1822, Faraday quería convertir el magnetismo en electricidad, ya que laelectricidad producía magnetismo. Recién lo logró en 1831 (inducción electromagnética). Aclaración: En general, se encuentran expresiones de las ecuaciones de Maxwell donde no aparecen los campos desplazamiento ni magnético, pero sí aparecen constantes. En realidad las ecuaciones de Maxwell aquí expuestas son generales, ya que no suponen ninguna propiedad de los materiales donde hay campos. Estas...