APUNTE PROBABILIDADES

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PROBABILIDADES

GENERALIDADES
Cálculo de probabilidades.
El Cálculo de Probabilidades, es un modelo matemático que sirve para estudiar fenómenos
o experimentos aleatorios.
Experimento aleatorio.
Se considera que un experimento es aleatorio si:
i)
ii)
iii)

El proceso se realiza de acuerdo a un conjunto bien definido de reglas.
Es de naturaleza tal que se puede concebir larepetición del mismo.
El resultado de cada ejecución depende de la “casualidad” y por lo tanto no se
puede predecir un resultado único.
Ejemplos:
Lanzar una moneda y observar el resultado ( si sale cara o sello)
Lanzar dos dados y observar el resultado.
Elegir dos alumnos entre un grupo de 10.

Espacio muestral (  ).
Se denomina espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados de unexperimento aleatorio. El espacio muestral puede ser finito o infinito, de acuerdo al número
de elementos que tenga.
En el ejemplo del lanzamiento de una moneda, el espacio muestral es:
 =  cara, sello, se tiene que  2
En el experimento que consiste en lanzar dos dados, el espacio muestral es:
 =  (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), .....,(6,6), se tiene que 36

2Suceso.
Suceso es todo subconjunto del espacio muestral.
En el ejemplo del lanzamiento de dos dados, los siguientes son ejemplos de
sucesos:
A =  (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),  A = 6
B =  (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6),  B = 6
C =  (1,2), (2,1),  C = 2
D =  (2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6),  D = 9
E =  (2,2), (2,3), (4,1),(5,3), (6,1), (6,2), (6,6),  E = 7
En algunos casos, resulta interesante definir por comprensión o en “palabras” los sucesos,
por ejemplo:
A, es el suceso que consiste en obtener un 1 en el primer lanzamiento, al lanzar
dos dados.
B, es el suceso que consiste en obtener dos números iguales al lanzar dos dados.
C, es el suceso que consiste en obtener suma 3 al lanzar dos dados.
D, es el sucesoque consiste en obtener dos números pares al lanzar dos dados.
Suceso imposible y suceso seguro.
Obviamente  y  son sucesos, ya que ambos son subconjuntos de .
 se denomina suceso imposible y  se denomina suceso seguro.
En el ejemplo último el suceso que consiste en obtener suma 15 al lanzar dos dados, es el
suceso .
En el mismo ejemplo el suceso que consiste en obtener dos númerosentre 1 y 6 al lanzar
dos dados, es el suceso .
Se denomina suceso elemental a aquel suceso que tiene un solo elemento.
En el experimento que consiste en lanzar un dado,  1 ,  2 ,  3 ,  4 , 5,  6 , son
sucesos elementales.
Se dice que un suceso ocurre, si y sólo si ocurre al menos uno de los resultados o elementos
del suceso.

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Sucesos mutuamente excluyentes.
Se dice que lossucesos A y B son mutuamente excluyentes, si y solo si se tiene
que A  B = .
En general se dice que los sucesos A 1, A 2, A 3, ……., An son mutuamente
excluyentes si: A i  A j = , para todo i  j , i,j = 1,2,3…..,n.
Como los sucesos son conjuntos contenidos en un Universo , es posible realizar
operaciones entre sucesos, las cuales serán operaciones entre conjuntos, tales como Unión,Intersección, Diferencia, etc.
El suceso A  B ocurre, si ocurre A o ocurre B o ocurren ambos (ocurre al menos
uno de ellos).
El suceso A  B ocurre, si ocurre A y ocurre B (ocurren ambos).
El suceso A  ocurre, si no ocurre A.
El suceso A  B  ocurre, si ocurre A y no ocurre B (ocurre sólo A)
Util es recordar las leyes de De Morgan:
(A  B) ' = A '  B '
(A  B) ' = A '  B '

DEFINICIONCLASICA DE PROBABILIDAD
Concepto Clásico (Probabilidad a priori)
Si un suceso A de un espacio muestral  puede ocurrir en “ a “ maneras distintas
de un total de “ n “ maneras posibles, entonces, se dice que la probabilidad de que ocurra el
suceso A es:
P(A)=

a
n

=

N elA
o también
N el

(N° de casos favorables) / ( N° total de casos)
Nota: Aquí y en lo que sigue se...