Apunte sobre vectores

Apunte sobre vectores
Introducción
En su concepción más elemental, un vector es un punto geométrico en el espacio visto desde un sistema de cooordenadas. Desde ese punto de vista, esta caracterizado por 3 números que son las coordenadas. Para facilitar la comprensión intuitiva, sin embargo, es más facil comenzar por estudiar los vectores en el plano y, posteriormente, extender los resultados amás dimensiones. Para ubicar un punto cualquiera de un plano, desde un sistema de referencia, se necesitan dos números (por ejemplo las coordenadas cartesianas {x, y}). Resulta intuitivo que un solo número no es suficiente para describir todos los posibles puntos geometricos del plano y que más de dos números es redundante. Para cada par de números {x, y} existe sólo un punto en el plano y paracada punto del plano se puede determinar de manera unívoca el par de números. En estas condiciones se dice que hay una relacion biyectiva entre los puntos del plano y los pares de números reales

Y

Y

X
Figure 1.

X

En la figura 1(izquierda) se muestra un sistema de referencia, las coordenadas cartesianas {x,y} y el punto del plano, . Las coordenadas (cartesianas) indican cuanto hay quedesplazarse en el eje X y en el eje Y para encontrar a . Alternaticvamente (ver figura de la derecha), cuando está localizado en el plano de alguna otra forma (por ejemplo, con una cruz, con lapiz sobre el papel) es posible asignarle las coordenadas {x,y} en forma gráfica. Notar los tres ángulos rectos (el del sistema de coordenadas, y los dos que indican el pie de la linea de puntos) quecompletan la receta para ubidar a , cuando se conocen las coordenadas {x,y} o, alternativamente, para hallar las coordenadas {x,y} cuando se conoce . Hay dos puntos, con coordenadas {1,0} y {0,1}, que por su importancia reciben el nombre especial de versores del sistema i = 81, 0< j = 80, 1<
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de referencia. En le sistema cartesiano se los representa con los símbolos i y j

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2

Apuntesobre vectores I.nb

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Figure 2.

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En la figura 2 se muestran los versores como puntos geométricos (izquierda) o, para futura referencia, como segmentos orientados (derecha) Las coordenadas de un punto arbitrario
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Cuando se escribe una combinacion lineal de los versores { i, j } con números reales {x, y}, es decir x i + y j , y se desarrolla elresultado usando la ley distributiva, se obtiene Es decir, las coordenadas de se pueden escribir como una combinacion lineal de los versores { i, j } con coordenadas {x, y}. Un lector atento podría objetar (y tendría razón) que no sabemos si la ley distributiva se aplica para vectores de la misma manera que para números reales. Dejamos para más adelante la fundamentación rigurosa de este y otrosresultados que estudiaremos aquí. Es importante notar la concordancia entre el número de coordenadas y el número de versores. Ya que en el plano hay dos coordenadas, son necesarios dos versores para describir completamente todos los puntos del plano. En el espacio son necesarios 3 versores y en 1 dimensión, naturalmente, solo un versor. El número mínimo de versores que por combinacióne s linealespueden representar a todos los puntos (1 para la recta, 2 para el plano, 3 para el espacio tridimensional, etc. ), se llama base del espacio. Ejemplo i = 81, 0, 0< j = 80, 1, 0<
fl fl

x i + y j = x 81, 0< + y 80, 1< = 8x, 0< + 80, y< = 8x, y<

fl

fl

Una posible base en tres dimensiones es el siguiente conjunto de versores

Vectores

 = 80, 0, 1<

fl

Pasamos del concepto geométrico,de punto en el plano, al concepto de vector. La diferencia radica en el grado de abstracción con que queremos analizar; cuando hablamos de punto geométrico pensamos en una cruz en el papel, cuando hablamos de vector es pensamos en la base y las coordenadas (ver figura 1). El concepto de vector se estudia con mayor rigurosidad en "Algebra". ÷” En el texto, un vector se representa con una flechita...