Apunte UChile Introducci n al lgebra

Ingenier´ıa Matem´
atica
FACULTAD DE CIENCIAS
´
F´ISICAS Y MATEMATICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
´
Introducci´
on al Algebra
10-1

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´
SEMANA 1: LOGICA

1.

L´
ogica

La l´ogica le proporciona a las matem´aticas un lenguaje claro y un m´etodo preciso
para demostrar teoremas apartir de axiomas. Por ejemplo:
axiomas de Euclides, definiciones, nociones primarias de geometr´ıa cl´asica
+
l´
ogica
=
teoremas de la geometr´ıa euclidiana
Un ejemplo de noci´
on primaria es la de punto. Un ejemplo de axioma es el que dice
que por un punto ubicado fuera de una recta L pasa una y s´olo una recta paralela
a L.
Sin la l´ogica los axiomas ser´ıan un mont´
on de verdades aceptadas,pero nada m´as.
La l´ogica, sin embargo, les da sentido y permite concluir nueva verdades (teoremas)
que antes no conoc´ıamos. Un ejemplo de teorema: la suma de los ´angulos interiores
de cualquier tri´angulo siempre es de 180◦ .
Al ser la l´ogica el punto de partida de las matem´aticas, en ella se deben introducir
nociones primarias tales como proposici´on, valor de verdad, conectivo l´ogico.1.1.

Proposiciones y valor de verdad

Definici´
on 1.1 (Proposici´
on l´
ogica). Una proposici´
on debe interpretarse como
un enunciado que siempre toma uno de los valores de verdad posibles: verdadero
(V ) o falso (F ).
Por ejemplo, en el contexto de la aritm´etica, “2+1=5” corresponde efectivamente a
una proposici´on. M´
as a´
un, su valor de verdad es F .
T´ıpicamente notaremos a lasproposiciones con letras min´
usculas: p, q, r, etc.
Algunos ejemplos:
“Estoy estudiando ingenier´ıa”.
“1≥ 0”.
“Est´a lloviendo en Valdivia”.

1.2.

Conectivos l´
ogicos

Los conectivos l´ogicos sirven para construir nuevas proposiciones a partir de proposiciones ya conocidas. El valor de verdad de la nueva proposici´on depender´a del valor
de verdad de las proposiciones que la forman. Esta dependencia seexplicita a trav´es
de una tabla de verdad.
Definici´
on 1.2 (Negaci´
on). La proposici´
on p se lee “no p” y es aquella cuyo valor
de verdad es siempre distinto al de p. Por ejemplo, la negaci´
on de “mi hermano ya
cumpli´
o quince a˜
nos” es “mi hermano a´
un no cumple quince a˜
nos”. Esto se explicita
a trav´es de la siguiente tabla de verdad.

1

Usa este margen
para consultar
m´
as r´
apido elmaterial. Haz
tambi´
en tus
propias
anotaciones.

p
V
F

p
F
V

Definici´
on 1.3 (O l´
ogico o disyunci´
on). La proposici´
on p ∨ q se lee “p o q”.
Decimos que p ∨ q es verdad, o que “se tiene p ∨ q”, cuando al menos una de las dos
proposiciones, o bien p o bien q, es verdadera. Por ejemplo, la proposici´
on “ma˜
nana
llover´
a o ma˜
nana no llover´
a” es verdadera. En otras palabras, tal como seaprecia
en la siguiente tabla de verdad, si alguien afirma que se tiene p ∨ q lo que nos est´
a
diciendo es que nunca son simult´
aneamente falsas.
p
V
V
F
F

p∨q
V
V
V
F

q
V
F
V
F

Definici´
on 1.4 (Y l´
ogico o conjunci´
on). La proposici´
on p∧q se lee “p y q”. Tal
como se aprecia en la siguiente tabla de verdad, si alguien afirma que se tiene p ∧ q,
lo que nos est´
a diciendo es que ambasproposiciones son verdaderas.
p
V
V
F
F

p∧q
V
F
F
F

q
V
F
V
F

Definici´
on 1.5 (Implicancia). Todos estaremos de acuerdo en considerar verdadera la proposici´
on “si el se˜
nor K est´
a en California entonces el se˜
nor K est´
a en
Estados Unidos”. ¿Por qu´e?
Porque a uno no le importa d´
onde est´
a el se˜
nor K: podr´ıa estar en Texas o en China. Lo u
´nico importante es que, si efectivamente“est´
a en Californa”, entonces
podemos concluir, con esa sola informaci´
on, que “est´
a en Estados Unidos”.
La proposici´
on p ⇒ q se lee “p implica q” o “si p entonces q”. Para estudiar su valor
de verdad nos debemos concentrar en el caso de que la hip´
otesis p sea verdadera.
Ah´ı tenemos que determinar si basta con esa informaci´
on para concluir que q es
verdadera. En resumen: si alguien...