Apunte

Algebra Lineal Gu´ de Matrices ıa
2012
1 −1 2 3 0 2 −1 1 5 −2 1 −1

1. Sean A =

yB=

Cacule:

A + B , 3B , A − 2B , (A + B) , At · B − 3B t

t

t

, A2 − B 2 A

t

2. Dados A =

a −c 2 0

d b

yB=

d a

b −c 1 3

, hallar a, b, c y d tales que AB =

4 3 2 −1

3. Considere A =

−1 3

yB=

4 −2

, hallar X ∈ M2 (IR) tal que (4X − AX) = 2A−1 B

t

24. Resolver la ecuaci´n matricial 2X+At = A+B 2 , donde A =  1 o 2 3 −3 2 −2 0 1 −1 0



  3 1 1 −1 0 −1  y B =  −1 2 4 1 3 4 A2 X − 2Y t = BA3 X t − Y At = B t

 3 −1 . 1

5. Si A =

yB=

, resuelva el sistema matricial:

6. Resuelva el sistema matricial:

At X + Y = Bt , donde A = t t −1 X − Y B = 0M

2 1 −1 1

y B=

2 −4 0 2

7. Resolver la ecuaci´n matricial 2X +A t = A + B 2 , para X ∈ M3x3 (IR), donde: o 2 1 A= 1 0 3 3    3 −1 1  y B =  −1 4 4  1 3 2 −1  1 4

1

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8. Si A =

−2 3

1 5

, B=

0 −1

2 4

y C=

3 0

−1 2

. Hallar la matriz X ∈ M2x2 (IR) que

satisfaga la ecuaci´n matricial ( 2A − 3XB t )t = B −1 C o X T + Y T = A · BT , donde: 3X − Y = B · AT 4 3 1 1 6 11 1 2

9.Encuentre X e Y en M2x2 (IR) tal que

A=

y B=

10. Determine la matriz A, dada la ecuaci´n: o  1  0 0   0 0 1 2 0 ·A· 0 0 −3 0   0 0 2 0 1  =  −6 1 0 18  3 −1 0 10  3 0   2 0 −1 0  0 1

1 11. Verifique que la ecuaci´n X 3 −X 2 −5X+5I = 0 admite como soluci´n a la matriz A =  2 o o 0 1 12. Si A =  2 2 2 13. Si A =  −1 1    2 2 1 2  verificar que: A2 − 4A − 5I = 0 2 1  −3−5 4 5  verificar que A es Idempotente, es decir queA2 = A. −3 −4 1 −1 0 2  senθ cos θ 0

14. Determine todas las matrices de 2 x 2 que conmuten con A =

cos θ 15. Hallar todas las matrices de 3x3 que con muten con la matriz A =  −senθ 0 A−1 . 1 16. Si A =  1 1 17. Si A = 1 −1   1 1 1 1 , deduzca una f´rmula para An . o 1 1 0 0 , calcular S = A + A2 + A3 + ... + An

 0 0 . Calcule 12

Ricardo Salinas P.

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1 0 18. Sea A =  0 1 1 0



 −1 0  calcular A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , A321 . Obs:An = A n−1 · A 0

19. Sea A ∈ Mnxn . Si S = A5 + A4 + A3 + A2 + A + I, pruebe que S = (A6 − I)(A − I)−1 . 1 −1 0 1
n −1 , calcule Sn si Sn = i=1

20. Sea A =

A−i .

21. Si A ∈ Mn (IK), tal que Ak = 0M , demostrar que (In − A)
−1= In + A + A2 + · · · + Ak−1

1 22. Para cada n´mero real k se define la matriz Ak =  −k u 0 a) Ap · Aq = Ap+q ∀p, q ∈ IR



0 1 0

 k −k 2 /2 . Demuestre que: 1

b) Ak es invertible ∀k ∈ IR. Calcule A−1 k 23. Sea X −1 = C − 2D + I3 , C = A A2 + A + I3 y D = B + B 2 + B 3 . Donde  2 −2 −4 4  A =  −1 3 1 −2 −3  1 B =  −1 1   −3 −4 3 4  −3 −4

Determine X ∈ M3 (IR) yverifique que es antisim´trica. e 24. Si w3 = 1, con w = 1 demuestre que  1  1 1 1 w w2  1 1 w2   1 w 1 1 w2 w  1 w  = 3I3 w2

25. Sean A = (aij )6x6 ; B = (bij )6x6 tal que: −1 si i > j 1 si i ≤ j 2i − j si j ≤ i i + j si j > i

aij = Obtener:

bij =

3

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a) c35 , donde C = AT + B b) d42 , donde D = 2A + 3B c) e25 ,donde E = BT · A T

26. Sean A = (aij )50x50 ; B = (bij )50x50 tal que: 2j si i ≤ 30 i si i > 30 1 si j > 30 2j si j ≤ 30

aij = Obtener: a) c30,40 , donde C = A + B b) c10,40 , donde C = A · B c) c5,50 , donde C = B · A d ) c20,10 , donde C = AT

bij =

27. Determine las inversas de las siguientes matrices: 2 −1 3 a) A =  1 0 1 −1 3 b) A =  0 2 0 0 2  2 c) A =   0 1   5 4 1 −1    4 −6  3 −5 1  1 6 3 3 2  −7 −1   2  1 −2 −4 0 5  0 1   2  3  0 0 b 0 x c t z  0 0   0  d

1 2  2 3 d) A =   −1 −2 0 2

a  x 28. ¿Qu´ condici´n deben cumplir los t´rminos a, b, c y d para que el rango de la matriz  e o e  y r valga 3?

4

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29. Calcule, si existe, la matriz inversa de las siguientes matrices: ...