APUNTE21v1


1.- Probabilidad Condicional, Bayes, Independencia

1.1.- Probabilidad Condicional:

DEF:

Sea E un evento arbitrario de un espacio muestral M con IP(E)>0.

Se define la probabilidad condicional de A dado E (se denota IP(A/E)), como sigue:

(**)

OBS:

La probabilidad condicional de A dado E (o bien, la IP del suceso A sí ya ha sucedido el suceso E, o bien, la IP del suceso Acondicionado a E), se puede visualizar en un diagrama de Venn como se aprecia a continuación:




Nota:
La probabilidad condicional es una probabilidad relativa del suceso A con relación al suceso E.

En particular, si M es un espacio finito y A denota la cardinalidad de un evento A, entonces:



o

o


Ejercicio:

Si al lanzar un par de dados insesgados se obtiene que la suma es 5, hallarla probabilidad de que uno de los dados sea 2, es decir:

E={ suma es 5}={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)} => E=4 y
A={un dos aparece por lo menos en un dado}={ (2,1) , (2,2), (2,3), (2,4) , (2,5) , (2,6), (1,2),(3,2),(4,2),(5,2), (6,2)}=>A=11.

Hallar IP(A|E)

Solución:

E consta de 4 elementos y en 2 de ellos aparece el número 2, entonces pertenece a A:

AE= {(2,3),(3,2)} => AE=2

Entonces
IP(A|E)=2/4= 1/2.
Teorema de la multiplicación de la probabilidad condicional:


Si despejamos de la ecuación (**) que define la probabilidad condicional y usamos el hecho de que AE = EA, obtenemos la siguiente fórmula:


Teorema 1:

Obs.
este teorema puede extenderse de la siguiente manera por inducción matemática:

Para los eventos A1,A2,.....,An secumple que



Ejercicios resueltos

1. Suponer que se tiene una caja (20 botellas) de Coca-Cola para la venta, y se sabe que existen 10 que en su tapa traen un premio, determinar:

a- La probabilidad de que la tercera botella que se venda sea la primera que tenga su tapa con premio
b- La probabilidad de que la tercera botella sea la segunda premiada



Solución:

a Este experimentoocurre sin devolución, gráficamente sería:


Sean los sucesos:
SP = Sin Premio
CP = Con Premio
P1 = La primera premiada
P2 = La segunda premiada


IP(SP SP CP)=IP(CP / SP SP) IP(SP / SP)IP(SP)=
=casos favorables/casos posibles=
=(10910)/(201918) 0.13213.2%

También para el desarrollo de este ejercicio se pueden hacer uso de árboles, queindican la condicionalidad en las ramas.

2-b


IP(sale 2da premiada en la tercera prueba)=IP(P1 SP P2)+IP(SP P1 P2)
=IP(P1) IP(SP / P1) IP(P2/ P1 SP)+IP(SP) IP(P1/ SP) IP(P2/ SP P1)
=((1010 9)/(20 19 18) )+((10109)/(201918)) 0,26326,3%

(Como ejercicio podría realizarlo usando un árbol).



2- En un costurero se tienen 5 carretes de hilo de los cuales 2 son de color rojo y 3 son de colornegro.

a- ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar los carretes el tercero sea el segundo de color negro?

b- ¿Cuál es la probabilidad de encontrar el último rojo en la cuarta extracción?






Solución
a- Sean los sucesos:

N = color negro
R = color rojo

Existen 2 eventos y la IP(de que al sacar los carretes el tercero sea el segundo de color negro) es:

IP(1)=IP(NRN) + IP(RNN) = IP(N)IP(R/N) IP(N/NR) +IP(R) IP(N/R)IP(N/RN) IP(1)=((232)/(543))+((322)/(543))=0.4=40%

b-
Existen 3 eventos cuyas probabilidades son

IP (encontrar el último rojo en la cuarta extracción)=
IP(que el último rojo sea el cuarto)=
IP(RNNR) +IP(NRNR) +IP(NNRR)=
=IP(R)IP(N/R) IP(N/RN) IP(R/RNN) + IP(N) IP(R/N) IP(N/NR) IP(R/NRN) + IP(N) IP(N/N) IP(R/NN) IP(R/NNR)=((3221)/(5432))+((2321)/(5432))+((3221)/(5432))
= 0,3=30%

3- En una caja de 100 artículos hay 10 defectuosos se toman al azar 3 artículos uno tras otro, hallar la probabilidad de que los tres no sean defectuosos.

Sean los sucesos:
Ai = {el artículo i es bueno}
Bi = {el artículo i es malo}

IP(A1A2A3)= IP(A1) IP(A2/A1) IP(A3/A1A2)



IP(A1) = 90/100...