ApunteCalcIII

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS
FISICAS Y MATEMATICAS

“Problemas Resueltos”.
C´
alculo III (521227).
V´ıctor Burgos Villanueva, Horacio Sanhueza Jofr´e.

Concepci´on, 1 de mayo de 2015

´
PRESENTACION.

Hola :)

V´ıctor Burgos Villanueva
Horacio Sanhueza Jofr´e
Estudiantes de Ingenier´ıa Civil Matem´atica
Universidad de Concepci´on.

´Indice
1. Soluciones Pr´
actico 1.
Problema1. . . . . . . . .
Problema 2. . . . . . . . .
Problema 3. . . . . . . . .
Problema 4 . . . . . . . .
Problema 5 . . . . . . . .
Problema 1 (Para trabajar
Problema 2 (Para trabajar

. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
en la
en la

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
casa)
casa)

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

..
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

2
2
9
9
10
11
13
15

2. Soluciones Pr´
actico 2.
17
Problema 1. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Problema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Problema 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Soluciones Pr´
actico 3.
Problema 1. . . . . . . .
Problema 2. . . . . . . .
Problema 3. . . . . . . .
Problema 4. . . . .. . .
Problema 5. . . . . . . .
Problema 6. . . . . . . .
Problema 7. . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

24
24
26
28
30
31
32
32

4. Soluciones Pr´
actico 4.
Problema 1. . . . . . . .
Problema 2. . . . . . . .
Problema 3. . . . . . . .
Problema 4. . . . . . . .Problema 5. . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

..
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

33
33
35
36
37
38

2

1.

Soluciones Pr´
actico 1.

Problema 1.
En cada caso, graficar y encontrar el conjunto de puntos interiores, de acumulaci´on, de adherencia,
de frontera y de puntos aislados. Indicar adem´as si los conjuntos dados son abiertos, cerrados y
compactos.
1
a) A =
:n∈N .
n
Soluci´
on: El esbozo del conjunto en cuesti´on es el siguiente:Determinando as´ı que:
int(A) = ∅, A = {0}, A = A ∪ {0}, Fr(A) = A ∪ {0} y Ais(A) = A. Y de lo anterior, se puede
decir que A:
No es abierto pues, por ejemplo, 1 ∈ A no es punto interior.
No es cerrado, ya que no contiene al 0 que es punto de acumulaci´on.
No es compacto por no ser cerrado.
b) B = A ∪ {0}.
Soluci´
on: El esbozo del conjunto en cuesti´on es el siguiente:

De lo cual determinamos:
int(B) = ∅,B = {0}, B = B, Fr(B) = A ∪ {0} y Ais(B) = A. Y de lo anterior, se puede decir
que B:
No es abierto por el mismo argumento del ejercicio a).
Es cerrado pues esta vez si contiene a su u
´nico punto de acumulaci´on.
Es compacto por ser cerrado y acotado.
vicburgos@udec.cl, hosanhueza@udec.cl

3

c) C = {(x, y) ∈ R2 : 0 < 2|x| + |y| < 1} ∪ {(x, y) ∈ R2 : 16 ≤ x2 + 4y 2 < 64}.
Soluci´
on: El...