Apuntes 5 continuidad de funciones





UNIVERSIDAD DE CUENCA
FACULTAD DE INGENIERÍA










CONTINUIDAD DE FUNCIONES


























Última revisión: Septiembre de 2.015



Definición de función continua en un número.-Se dice que una función es continua en un número si y solamente si se satisfacen las tres condiciones siguientes:

i.- , existe;
ii.- , existe;
iii.-

Si una o más de estas tres condiciones no secumplen en , entonces se dice que la función es discontinua en .

Teoremas.-
1.- Teorema.-
Si y son dos funciones continuas en el número , entonces:

i.- , es continua en ;
ii.- , es continua en ;iii.- , es continua en ; y,
iiii.- , es continua en , con

2.- Teorema.-
Una función polinomial es continua en todo número.


Siendo un número real no negativo y elemento del conjunto de losnúmeros reales.


3.- Teorema.-
Una función racional es continua en todo número de su dominio.

donde: ;
y funciones polinomiales


4.- Teorema.-
Si es un número entero positivo y , entonces:

i.-Si es impar, entonces es continua en todo número; y,
ii.- Si es par, entonces es continua en todo número positivo.

5.- Teorema.-
La función es continua en el número , si está definida en algúnintervalo abierto que contenga a ; y, si para cualquier , existe un , tal que:

Si , entonces,

6.- Teorema.- Límite de la función compuesta.-
Si, ; y, si la función es continua en , entonces:
; o,7.- Teorema.- Continuidad de la función compuesta.-
Si la función es continua en y la función es continua en , entonces es continua en .

Demostración:
Como es continua en , entonces
Como escontinua en , se puede aplicar el límite de una función compuesta (Teorema anterior), por lo que:

,
Por lo tanto es continua en .

8.- Definiciones.-
Definición de continuidad en un intervaloabierto.-
Se dice que una función es continua en un intervalo abierto , si y solamente si, es continua en cada número del intervalo abierto

Definición de continuidad por la derecha.-
Se dice que una...