Apuntes algebra elemental

UNIVERSIDAD ANDRES BELLO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

APUNTE ALGEBRA ELEMENTAL

1.

CONJUNTOS NUMERICOS
Son todos aquellos conjuntos que est´n formados por n´meros, estos se dividen en: a u

N´ meros Naturales: Son los que normalmente usamos para contar, se representan por el s´ u ımbolo N y
sus elementos son: N = {1, 2, 3....∞} Algunos subconjuntos de N son: N´meros Pares: {2, 4, 6, 8,10...∞}. Se representan como 2n, ∀n ∈ N. u N´meros Impares: {1, 3, 5, 7, 9...∞}. Se representan como 2n + 1 o 2n − 1, ∀n ∈ N. u N´meros Primos: {2, 3, 5, 7, 11...∞}. Son todos aquellos n´meros que son divisibles solo por si mismos y u u por 1, excluyendo a ´ste ultimo. e ´ N´meros Compuestos: Son todos aquellos que No son primos u

N´ meros Cardinales: Es el conjunto que se forma cuando en elconjunto de N´meros Naturales u u incluimos el 0. Se representa por el s´ ımbolo N0 y sus elementos son:
N = {0, 1, 2, 3...∞} Aparece en este conjunto el concepto de ”d´ ıgito”: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

N´ meros Enteros: Conjunto formado por todos los n´meros sin cifra decimal, es decir, los n´meros u u u naturales, sus inversos aditivos (se dice que un n´mero a tiene inverso aditivo, siexiste un b tal que a + b = 0, u tal b es tambi´n conocido como −a), y el neutro aditivo (para cualquier n´mero x existe un unico e que cumple e u ´ que x + e = x, a ese n´mero e lo conocemos como neutro aditivo y corresponde al 0). Sus elementos son: u
Z = {−∞, ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3...∞}

N´ meros Racionales: Se representan por el s´ u ımbolo Q y cumple (a diferencia de los conjuntosanteriores) que para cada par de n´meros racionales, la suma, resta, multiplicaci´n y divisi´n (sin incluir en esta u o o ultima al 0) es siempre un n´mero de Q. Se puede representar por: ´ u
Q= p q con p, q ∈ Z, q = 0

Existen distintas formas de expresar los elementos de este conjunto: Forma Fraccionaria: Esta forma nos expresa ”partes”de alg´n entero. Est´ formada por un denominador u a (queindica la cantidad de partes en que dividimos el entero) y un numerador (que indica cuantas de estas partes vamos a considerar) Forma Mixta: Hay ocasiones en que el numerador de una fracci´n es mayor al denominador. En estas o situaciones necesitamos m´s de un entero. Se divide el numerador por el denominador, del resultado a de esta divisi´n consideramos el cuociente como la parte entera y el restocomo numerador de la parte o fraccionara que la acompa˜a. n Forma Decimal: Toda fracci´n tiene su representaci´n como n´mero decimal, para obtenerlo basta dividir, o o u sin dejar resto, el numerador con el denominador. Existen 3 posibles casos de decimales:

• Decimal Finito: las cifras decimales de un n´mero son finitas. La manera de pasar este tipo de deciu males a fracci´n es escribir unafracci´n cuyo numerador sea el mismo n´mero pero sin coma y cuyo o o u denominador sea 100... con tantos ceros como d´ ıgitos tiene el n´mero despu´s de la coma. u e Ejemplo: 15 10 153 ◦ 1,53 = 100 1532 ◦ 1,532 = 1000 ◦ 1,5 = • Decimales Peri´dicos: Son aquellos en que los n´meros despu´s de la coma se repiten infinitamente o u e o sin alterar su orden, por ejemplo 1, 33333... = 1, 3. La fracci´nque representa a estos decimales es aquella cuyo numerador es el n´mero escrito sin coma ni linea peri´dica menos la parte entera dividio u o por 999... con tantos 9 como decimales peri´dicos halla. o Ejemplo: ◦ 1.53 = 153 − 1 152 = 99 99 1531 1532 − 1 = ◦ 1.532 = 999 999 1517 1532 − 15 ◦ 15.32 = = 99 99

• Decimales Semiperi´dicos: son aquellos en que hay cifras decimales que aparecen solo unavez y las o dem´s se repiten infinitamente, por ejemplo: 1, 3444... = 1, 34. La fracci´n que representa a estos a o decimales es aquella cuyo numerador es el n´mero escrito sin coma ni linea peri´dica menos la parte u o no peri´dica del n´mero, dividio por 999...0... con tantos 9 como decimales peri´dicos halla y tantos o u o 0 como digitos no peri´dicos halla despu´s de la coma. o e Ejemplo: 153 −...