Apuntes Complejos

 Números complejos

1. Introducción

Podemos pensar en las progresivas ampliaciones de los conjuntos numéricos como el
método necesario para resolver ecuaciones algebraicas progresivamente complicadas. Así, el paso de N a Z se justificaría por la necesidad de dar solución a una ecuación como

x + 5 = 0,y el paso de Z a Q por la necesidad de dar solución a ecuaciones de la forma

5x = 1.

El paso de Q a R es más complicado de explicar en este momento, puesto que es más
topológico que algebraico, pero permite además dar solución a ecuaciones como− 2 = 0.

El paso de R a C viene motivado históricamente por la necesidad de trabajar con las
soluciones de ecuaciones como
+ 1 = 0,

es decir, con raíces cuadradas de números negativos. Inicialmente, se trabajaba con dichas raíces, llamadas números imaginarios por Descartes, como paso intermedio hasta llegar aun número real (típicamente elevando el número imaginario al cuadrado en algún momento de los razonamientos). Posteriormente, en los siglos XVIII y XIX, se formaliza la noción de número complejo, lo que convierte a estas entidades algebraicas en “miembros de pleno derecho” de las familias numéricas.

2. Definición

Un número complejo, z,es un número que se expresa como z = x + iy o, de
manera equivalente, z = x+yi, donde x є R e y є R. Se conoce a i como la unidad imaginaria, además, = −1.
Se denotará con x = Re z a la parte real del número z y con y = Im z a la parte imaginaria de z. Los números complejos de la forma z = x + i0 se denominan reales puros o, simplemente, reales; y los números complejos de la forma z = 0+ iy se denominan imaginarios puros.
Decimos que dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales. En otras palabras, si

z = a + ib, w = c + id,
y
z = w,
entonces
a = c, b = d.

Noexiste relación de orden en los números complejos; al contrario, las conocidas
relaciones de orden que se usan en el caso de los números reales no son válidas. Usando números reales podemos decir, por ejemplo, que 5 > 3; pero no tiene sentido afirmar que 1 + i < 2 + 3i.

3. Operaciones algebraicas

Podemos sumar, restar, multiplicar y dividirnúmeros complejos obteniendo como resultado otro número complejo. Sean z1 = a + ib y z2 = c + id números complejos.
La suma de los números complejos z1 y z2 se define como:

z1 + z2 = (a + c) + i(b + d).
La resta de los números complejos z1 y z2 se define como:

z1 - z2 = (a − c) + i(b − d).

Lamultiplicación de los números complejos z1 y z2 se define como:

z1 · z2 = (ac − bd) + i(ad + bc).

La división de los números complejos z1 y z2 con z2 ≠ 0 se define como:



4. Representación geométrica

Se puede establecer una correspondencia uno a uno entre cada número complejo z = x + iy y el punto (x, y)del plano cartesiano xy. De esta forma, cada número complejo se puede representar geométricamente como un punto en el plano cartesiano. Cada vez que utilicemos el plano para representar un número complejo lo denominaremos plano complejo o plano z. En estas circunstancias, el eje x, o eje horizontal, se llama eje de los números reales, mientras que el eje y, o eje vertical, se conoce como eje...