Apuntes De Algebra Lineal
Páginas: 235 (58580 palabras)
Publicado: 15 de enero de 2013
Rep´ blica Bolivariana de Venezuela u Universidad Nacional Experimental Polit´cnica e “Antonio Jos´ de Sucre” e Vice-Rectorado Barquisimeto Departamento de Estudios Generales y B´sicos a Secci´n de Matem´tica o a
´ Apuntes de Algebra Lineal
Autor: MSc. Jorge F. Campos S. Barquisimeto, 2009
´ Indice general
Agradecimientos ´ Indice general Introducci´n o 1. Matrices. Sistemas deEcuaciones Lineales. Inversa de una Matriz Cuadrada 1.1. Operaciones con Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Suma de Matrices y Multiplicaci´n por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . o
II
IV
1 2 2 7
1.1.2. Producto de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.3. Transposici´n o Trasposici´n de Matrices . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 20 o o 1.2. Operaciones Elementales por Filas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3. Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4. Inversa de una Matriz Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2. Determinantes. Regla de Cramer 55
2.1. Determinantes. Propiedades delos Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2. Matriz Adjunta. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.3. Determinantes de Matrices Triangulares por Bloques . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3. Espacios Vectoriales. N´cleo e Imagen de una Matriz u 90
3.1. Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90 3.2. Subespacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
iv
´ Indice general
v
3.3. Combinaci´n Lineal y Espacio Generado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 o 3.4. Independencia y Dependencia Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.5. Bases y Dimensi´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 118 o 3.6. Matriz de Cambio de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.7. N´ cleo e Imagen de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 u 4. Espacios Reales con Producto Interno. Proceso de Gram-Schmidt 150
4.1. Espacios Reales con Producto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.2. BasesOrtonormales y Proceso de Ortonormalizaci´n de Gram-Schmidt . . . . . . 155 o 4.3. Complemento Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5. Autovalores y Autovectores de una Matriz. Forma Can´nica de Jordan o 175
5.1. Autovalores y Autovectores de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.2. Diagonalizaci´n . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 o 5.3. Autovectores y Autoespacios Generalizados. Forma Can´nica de Jordan . . . . . . 193 o 6. Transformaciones Lineales 210
6.1. Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 6.2. Representaci´n Matricial de una Transformaci´n Lineal . . . . . . . . . . . . . . . 225 o o 6.3. N´ cleo e Imagen de unaTransformaci´n Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 u o Ap´ndices e A. Campos y N´meros Complejos u 242 243
A.1. Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 A.2. El Campo de los N´ meros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 u B. Algo m´s sobre Espacios Vectoriales a 264
B.1. K-Espacios Vectoriales . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 B.2. Espacios con Producto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 B.3. Espacios Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 B.4. Bases para Espacios Vectoriales de Dimensi´n Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . 269 o
´ Indice general C. Algo m´s sobre...
´ Apuntes de Algebra Lineal
Autor: MSc. Jorge F. Campos S. Barquisimeto, 2009
´ Indice general
Agradecimientos ´ Indice general Introducci´n o 1. Matrices. Sistemas deEcuaciones Lineales. Inversa de una Matriz Cuadrada 1.1. Operaciones con Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Suma de Matrices y Multiplicaci´n por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . o
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1.1.2. Producto de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.3. Transposici´n o Trasposici´n de Matrices . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 20 o o 1.2. Operaciones Elementales por Filas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3. Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4. Inversa de una Matriz Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2. Determinantes. Regla de Cramer 55
2.1. Determinantes. Propiedades delos Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2. Matriz Adjunta. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.3. Determinantes de Matrices Triangulares por Bloques . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3. Espacios Vectoriales. N´cleo e Imagen de una Matriz u 90
3.1. Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90 3.2. Subespacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
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´ Indice general
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3.3. Combinaci´n Lineal y Espacio Generado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 o 3.4. Independencia y Dependencia Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.5. Bases y Dimensi´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 118 o 3.6. Matriz de Cambio de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.7. N´ cleo e Imagen de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 u 4. Espacios Reales con Producto Interno. Proceso de Gram-Schmidt 150
4.1. Espacios Reales con Producto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.2. BasesOrtonormales y Proceso de Ortonormalizaci´n de Gram-Schmidt . . . . . . 155 o 4.3. Complemento Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5. Autovalores y Autovectores de una Matriz. Forma Can´nica de Jordan o 175
5.1. Autovalores y Autovectores de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.2. Diagonalizaci´n . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 o 5.3. Autovectores y Autoespacios Generalizados. Forma Can´nica de Jordan . . . . . . 193 o 6. Transformaciones Lineales 210
6.1. Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 6.2. Representaci´n Matricial de una Transformaci´n Lineal . . . . . . . . . . . . . . . 225 o o 6.3. N´ cleo e Imagen de unaTransformaci´n Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 u o Ap´ndices e A. Campos y N´meros Complejos u 242 243
A.1. Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 A.2. El Campo de los N´ meros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 u B. Algo m´s sobre Espacios Vectoriales a 264
B.1. K-Espacios Vectoriales . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 B.2. Espacios con Producto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 B.3. Espacios Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 B.4. Bases para Espacios Vectoriales de Dimensi´n Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . 269 o
´ Indice general C. Algo m´s sobre...
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