Apuntes de algebra. primero ingenieria

´ Apuntes de Algebra
Departamento de Matem´ticas a Universidad de Castilla - La Mancha E. I. I. Albacete Septiembre de 2011

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´ Indice general
1. N´ meros Complejos u 1.1. El cuerpo de los N´meros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.1.1. Conjugado de un complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 3 4 5 6 7 9 13 13 14 16 18 21 22 24 2627 28 33 33 34 37 41 42

1.1.2. M´dulo de un complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2. Representaci´n geom´trica de los n´meros complejos: M´dulo y argumento . . . o e u o 1.3. Formas trigonom´trica y polar de un n´mero complejo . . . . . . . . . . . . . . . e u 1.3.1. Operaciones en forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Potencia y ra´n-sima de un n´mero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ız u 1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Matrices y Determinantes 2.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Operaciones conMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Rango de una matriz. C´lculo del rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.4. Matrices regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Determinante de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Propiedades de los determinantes . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Aplicaci´n de los determinantes al c´lculo de la inversa . . . . . . . . . . . . . . . o a 2.7.1. Rango de una matriz utilizando determinantes . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Sistemas de Ecuaciones Lineales 3.1. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Teorema de Rouch´-Fr¨benius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e o 3.3. Regla de Cramer. M´todo de Gauss e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4. Eliminaci´n de par´metros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a 3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

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´ Indice general

4. La estructura de Espacio vectorial 4.1. La estructura de Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Operaciones con subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Suma directa . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Subespacios independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Base y dimensi´n de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.5. Espacio vectorial cociente: variedades . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 4.5.1. Ecuaciones de subespacios y variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Ecuaciones de un cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Aplicaciones Lineales 5.1. Aplicaciones lineales entre espacios vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 5.1.1. Tipos de aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Propiedades de las aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Operaciones entre aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. N´cleo, imagen y car´cter de una aplicaci´n lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . u a o 5.5. Matriz de una...