Apuntes de algebra y cálculo

DESIGUALDAD
  AXIOMAS DE ORDEN EN  R
  Sea  R +   R , tal que:
  1 )  0    R +

  2 )  Si   a    R,  entonces una y sólo una de las siguientes afirmaciones es verdadera:
i )  a   =   0                                ii )  a    R +                           iii )  – a    R +
  3 )  Si   a    R +   y   b    R + , entonces:
a   +   b    R +      y      a b    R +

  DEFINICIONES
  1 )  a   <   b            b   –   a    R +

  2 )  a   >   b            a   –   b    R +

  3 )  a      b            a   <   b        a    =    b

  4 )  a      b            a   >   b        a    =    b

   PROPIEDADES
  1 )  a    R +            a   >   0

  2 )  – a    R +          a   <   0

  3 )  a   >   b           – a  <   – b

        Ejemplo:
  7   >   4           7   <    4
  4 )  a   <   b          a  +  c   <   b  +  c

        Ejemplos:
3   <   5          3  +  4   <   5  +  4     (  7   <   9  )
3   <   5          3    1   <   5    1     (  2   <   4  )
  5 )  c   >   0          (  a   <   b          a c   <   b c  )

        Ejemplo:
2  <   4          2  ×   3   <   4  ×   3     (  6   <   12  )
  6 )  c   <   0          (  a   <   b          a c   >   b c  )

        Ejemplo:
2   <   4          2    (  3 )   >   4    (  3 )     (   6   >    12  )
  7 )  a b   >   0          (  a   <   b          a  1   >   b  1  )

        Ejemplos:
2   <   5          1 / 2  >   1 / 5

 5   <    2           1 / 5   >    1 / 2
  8 )  (  a   <   b      c   <   d  )          (  a  +  c   <   b  +  d  )

        Ejemplo:
2   <   7           5   <    3              2    5   <   7    3     (   3   <   4  )
  Sean   a,  b,  c   y   d   números reales positivos   y   n   número natural mayor que  1,  entonces:

  9 )  ( a   <   b      c   <   d  )          a c   <   b d

        Ejemplo:
3   <   7          4   <   6              3    4   <   7    6     (  12   <   42  )
  10 )  a   <   b          a n   <   b n

        Ejemplo:
4   <   9          4 2   <   9 2     (  16   <   81  )
   

        Ejemplo:

ECUACIÓN DE 2º GRADO
DEFINICIÓN
Se denominaecuación de segundo grado, en  x , a la ecuación:
a x 2  +  b x  +  c   =   0    ;  a    0
Sus raíces o soluciones se obtienen aplicando la fórmula:

    Donde  b 2  –   4 a c  se denomina discriminante de la ecuación.
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
Sean  x 1  y  x 2  las raíces de la ecuación:  a x 2  +  b x  +  c   =   0   ;  a  ≠  0 , entonces:
a x 2  +  b x  +  c   =   a ( x  –  x 1 ) ( x –  x 2 )

NATURALEZA DE LAS RAÍCES
Sea la ecuación:  a x 2  +  b x  +  c   =   0 , con  a , b  y  c  , números reales  y  a  ≠  0 , x 1  y  x 2  sus raíces, entonces:
    b 2  –  4 a c   >   0      →     x 1  y  x 2  son reales y distintas.
    b 2  –  4 a c   =   0     →     x 1   =   x 2  y  además son reales.
    b 2  –  4 a c   <   0     →     x 1  y  x 2  no son reales, soncomplejas conjugadas.
FUNCIÓN
Definición
Sean  A  y  B  conjuntos no vacíos, y  f  una relación de  A  a  B , entonces  f  es una función ( o aplicación ) de A  en  B , si y sólo si a cada elemento de  A , le hace corresponder un y sólo un elemento de  B.
    Ejemplo 1:

f   =   { ( a , r ) , ( b , m ) , ( c , p ) , ( d , r ) }
Dominio ( Dom f ) y codominio ( Codom f )
Sea  f  función de  A  en  B, entonces:
Dom f   =   A     y     Codom f   =   B
Notación
Sea  f  función de  A  en  B ,  x  A  e  y  B , entonces:
f ( x )   =   y          ( x , y )  f
Al elemento  y  se le llama imagen de  x  bajo  f.
    Ejemplo 2:  En el ejemplo 1,  f ( a )   =   r          r  es la imagen de  a  bajo  f.
Recorrido o rango ( Rec f )
Sea  f  función de  A  en  B , entonces el recorrido...