Apuntes De Analisis Vectorial

APUNTES DE ANALISIS VECTORIAL

4 de septiembre de 2007

´ Indice general
1. Topolog´ de Rn . Sucesiones ıa 1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2. Norma, distancia y bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Conjuntos cerrados y abiertos . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Sucesiones de puntos de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Sucesiones de Cauchy. Completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Conjuntos compactos. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. L´ ımites y continuidad de funciones en Rn 2.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.2. Funciones de varias variables. Funciones escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. L´ ımite de una funci´n en un punto. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.4. L´ ımites direccionales, reiterados, infinitos, ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. L´ ımites direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. L´ ımites reiterados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. L´ ımites infinitos y en elinfinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Otras propiedades de las funciones continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. Teorema deWeierstrass. Consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2. Conjuntos arco-conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 2 3 3 3 5 7 8 8 9 9 9 11 12 12 13 13 13 14 15 15 16 17

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3. C´lculo Diferencial en Rn a 3.1. Introducci´n .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2. Derivadas parciales y direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Derivadas parciales. Matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 18 19 19 20 21 21 24 24 25 26 27 29 30 32 35 35 35 36 37 38 39 40 41 42 43 45 47 47 51 51 53 54 55

3.3. Derivada o Diferencial de una funci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.3.1. Concepto de Diferencial. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.2. Aproximaci´n lineal, hiper-plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . o 3.3.3. Condiciones suficientes de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Propiedades de las funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Regla de la cadena. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . ....