Apuntes de aritmetica

Algunos apuntes de Manejo de Espacios y Cantidades.

Clasificación de los números.

Números naturales.
Los numero naturales, surgen de la necesidad de contar, de enumerar: {1,2,3,4…}

Números enteros.
Cuando se necesita además restar, surgen los números enteros: {… -3,
- 2, -1, 0, 1, 2, 3,… }

Números racionales.
Si se necesita además dividir, surgen los números racionales (ófracciones, ó quebrados): { … 1 / 2, 5 / 3, 8 / 10, 36545 / 25 … }

Números irracionales.
Hay números que no son racionales, es decir que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros. Por ejemplo, piensa en el número cuya representación decimal es: 0.1234567891011121314151617181920… Claramente, está representación decimal no es exacta ni periódica, por tanto no puedecorresponderse con ningún número racional.

Números reales.
La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales.

Operaciones con números enteros:

Suma: Para sumar dos números que tienen el mismo signo, se suman los
números y se les deja el signo que tienen.

Ejemplo:

+8 +4 = +12 2 + 6 = 8 -8 -4 = - 12 -2 – 6 = -8

Para sumar dos números con diferentes signos, se restan los números y se deja el signo del número mayor.

Ejemplo:

-24 + 9 = -15 -6 + 16 = 10 -3 + 8 = 5 24 – 26 = -2
(nótese que cuando se empieza con un numero positivo, el signo + puede no escribirse, se sobreentiende que si el número no tiene signo entonces es positivo)

Resta: Para restar un número deotro, se debe cambiar el signo al número
que se esta restando, y luego procedemos como si fuera suma.

Ejemplo:
-6 – (- 9) = -6 + 9 = 3 12 – (+4) = 12 – 4 = 8

12 – (-4) = 12 + 4 = 16 - 12 – (+4) = -12 -4 = 16

Multiplicación y División.
Ley de los signos:
Para la multiplicación:

(+) (+) = + (-) (-) = +(+) (-) = - (-) (+) = -

Para la division:

+ / + = + - / - = + + / - = - - / + = -

De estas leyes se deduce que:

“Para multiplicar ó dividir números con signos iguales, el resultado siempre será positivo”.
Ejemplo:

(8) (5) = 40 (-8) (-5) = 40 36 / 12 = 3 -36 / -12 = 3

“Para multiplicar o dividir números dediferentes signos, el resultado siempre será negativo”.

Ejemplo:

(2) (-5) = -10 -3 (6) = - -9 / 9 = -1 9 / -3 = -3

Simbología de los números:

+ SUMA
̵ RESTA
X • ﴾ ﴿ ﴾ ﴿ MULTIPLICAR
: ÷ / DIVIDIR
﴾ ﴿ PARENTESIS
[ ] CORCHETES
{ } LLAVES
= IGUAL
≠ DIFERENTE DE
≈ SEMEJANTE
> MAYOR QUE
< MENOR QUE
≥ MAYOR OIGUAL QUE
≤ MENOR O IGUAL QUE
± MAS MENOS

Jerarquía (orden) en las operaciones aritméticas.

1º Se calculan potencias y raíces
2º Se resuelven multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha
3º Por último se realizan sumas y restas

Ejemplos:
√ 4 + 22 – 4 x 8 + 12 ÷ 2 =
2 + 4 – 4 x 8 + 12 ÷ 2 =
2 + 4 - 32 + 6 =
12 - 32 = - 20

3 x 42 + 6 ÷ 3- √16 ÷ 22 =
3 x 16 + 6 ÷ 3 – 4 ÷ 4 =
48 + 2 – 1 = 49

43 – 40 + √36 ÷ 2 – (5) =
43 – 40 + 6 ÷ 2 – 5 =
43 - 40 + 3 - 5 = 1

Continuación...

Los paréntesis, los corchetes y las llaves, son signos de agrupación, nos indican que primero hay que resolver lo que se encuentra dentro de ellos, en ese mismo orden, es decir 1º paréntesis, 2ºcorchetes y por ultimo llaves. Ejemplo:

500 - { 14 - [7 – (6 – 5 + 4) ] } =
500 - { 14 - [7 – 5 ] } =
500 - { 14 – 2 } =
500 – 12 = 488

Actividad:
Resuelve los siguientes ejercicios:
8 - {+4 -7+ [-5+10-(5-7)]} =
{-12[3+ (-15-3)-11] +1} =
3-16[6+1]-4(-4+8) =
{6+5+3 [-8+2] +5[2-8 (4-7)]+6}=

Operaciones con números racionales.

Nota importante:
Decimos que 2 fracciones son...