Apuntes de calculo 2

APUNTES CALCULO II INGENIERIA COMERCIAL

PROFESORA: PAOLA LOYOLA C.

SEMESTRE OTOÑO 2011

CALCULO II: INGENIERIA COMERCIAL

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UNIDAD I: INTEGRALES

INTEGRALES INDEFINIDAS
ANTIDIFERENCIACION: Es la operación inversa a la diferenciación. DEFINICION: Una función F se llama antiderivada de una función f , enun intervalo I, si F `( x) = f ( x) , para todo valor en I. EJEMPLO: Sea
F ( x) = 4 x3 + x 2 + 5 f ( x) = 12 x 2 + 2 x Luego f es la derivada de F y F es una antiderivada de f. Si G ( x) = 4 x3 + x 2 − 12 también es una antiderivada de f

TEOREMA: Si f y g son dos funciones tales que f `( x ) = g `( x) , para todos los valores de x en algún intervalo I, entonces existe una constante k tal que:f ( x) = g ( x) + k TEOREMA: Si F es una antiderivada particular de f, entonces toda antiderivada de f esta dada por: F ( x ) + C
donde c es una constante arbitraria y cualquier antiderivada de f, se puede obtener a partir de F ( x ) + C asignando valores particulares a C. La antidiferenciación es el proceso de determinar todas las antiderivadas de una función dada. El símbolo

∫

denota laoperación de antidiferenciación y se escribe:

∫ f ( x)dx = F ( x) + C

donde F `( x) = f ( x)

U. AUTONOMA

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________________ EJEMPLOS: 1.- ∫ 2 x dx = x 2 + C 2.3.porque

(x

2

+ C )′ = 2 x
3

∫ 3x

2

dx = x 2 + C

porque

(x

+ C )′ = 3 x 2

∫ cos x dx = senx +C
∫ x dx = ln x + C
1

porque

( senx + C )′ = cos x
1 x

4.-

porque

( ln x + C )′ =

FORMULAS FUNDAMENTALES DE INTEGRACION
1.- ∫ dx = x + C 2.- ∫ af ( x) dx = a ∫ f ( x)dx,

a constante +

3.-

∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x) dx

∫ g ( x) dx
x n +1 + C, n ≠ −1 n +1

4.- Si n es un número racional

n ∫ x dx =

EJEMPLOS:

 x4 ′ 1 pues  + C  = ⋅ 4 x3 = x3 4  4 x3 2.- ∫ 2 x 2 dx = 2 ∫ x 2 dx = 2 + C 3

1.-

3 ∫ x dx =

x4 +C 4

3.-

x2 ∫ (3x + 2)dx = ∫ 3xdx + ∫ 2dx = 3 2 + 2 x + C

U. AUTONOMA

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________________ 4.-

∫ x dx =

x1+1 x2 +C = +C 1+1 2

5.- ∫ 4 x 5 dx = 4 ∫ x 5 dx = 4
−3 4

2 x6 x6 +C = +C 6 3
4

6.-

∫x7

x7 7 dx = + C = x 7 + C 4 4 7

EJECICIOS PROPUESTOS 1.-

∫

x dx

2.-

x2 + 2x + 1 ∫ x 2 dx

3.-

∫ x ( 2 + x ) dx
2 2

1 1   4.- ∫  3 x + − 2  dx x x  

5.-

5t 4 − 2t 3 + t − 1 dt ∫ t3

6.-

∫

1  x  x +  dx x 

OTRAS FORMULAS DE INTEGRACION
dx = ln x + C x ax + C , a > 0, a ≠ 1 2. ∫ a x dx = ln a

1.

∫

3. 4.

5. 6. 7. 8. 9.

∫ e dx =e + C ∫ sen x dx = − cos x + C ∫ cos x dx = sen x + C ∫ tg x dx = ln sec x + C ∫ cot x dx = ln sen x + C ∫ sec x dx = ln sec x + tg x + C ∫ cosec xdx = ln cosec x − cot x + C
x x

U. AUTONOMA

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________________ EJEMPLOS:

1.-

∫ x dx = 3 ∫ x dx = 3 ln x
x ∫ 2 dx =

3

1

+C2.-

1 2x 2 x ln 2 dx = +C ln 2 ∫ ln 2

3.-

∫ ( 3senx − 2 cos x ) dx = 3 ∫ senxdx − 2∫ cos xdx = − 3cos x − 2senx + C

4.-

∫ 2 e 

1

x

3  1 3 1 3 − x  dx = ∫ e x dx − ∫ xdx = e x − x 2 + C 4  2 4 2 8

EJERCICIOS PROPUESTOS Resolver las siguientes integrales indefinidas: 1.4.3x5 + 2 x − 5 ∫ x3 dx

 2 1 2.- ∫  3 y − 3 +  dy  y y   5.8.-

 ex  3.- ∫  + x x dx 2   

1  − 2 x 2  − 5  dx x  dx 7.- ∫ 2 ax
3

∫ (x

)

∫ t (t
∫ 

2

− 1 dt

)

6.9.-

∫ (ax
∫
4

4

+ bx3 + cx 2 + dx + e dx
dx

)

 − 5 dx   5 x 
3

5 x3

10.-

∫

3x + 4 dx 5 x

11.-

∫ (4

x + 3 6 x5 dx

)

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