Apuntes De Calculo Integral

MATEMÁTICAS V
PROGRAMA:
I INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN. 1.- Diferencial de una función. 2.- Funciones primitivas e integrales indefinidas. 3.- Formulario. 4.- Integrales reducidas a las inmediatas. 5.- Sustitución trigonométrica. II INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS. 1.- Integración de las potencias del seno y de coseno. 2.- Integración de las potencias de la tangente y de la cotangente. 3.-Integración de las potencias de la secante y de la cosecante. 4.- Formulas de reducción. III INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 1.- Caso I. 2.- Caso II. 3.- Caso III. IV INTEGRACIÓN POR PARTES. 1.- Descripción del método. 2.- Ejemplos ilustrativos. V INTEGRACIÓN DE LAS FRACCIONES RACIONALES.

1.- Factores de un Polinomio. 2.- Descomposición de las fracciones racionales en fracciones simples. 3.-Los cuatro casos de integración. VI LA INTEGRAL DEFINIDA. CONSTANTE DE INTEGRACIÓN. 1.- Derivada de un área plana. 2.- Definición de la integral definida. 3.- Signos de áreas planas. VII APLICACIONES GEOMETRICAS. 1.- Cálculo de áreas simples. 2.- Área entre dos curvas. 3.- Volúmenes de revolución. 4.- Volúmenes de sólidos de sección conocida. VIII INTEGRALES DOBLES. 1.- Definición de la IntegralDoble 2.- Momentos estáticos y centroides.

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS:

02) ∫ a dv = a ∫ dv 03) ∫ dx = x + c

01) ∫ (du + dv - dw) = ∫ du + ∫ dv - ∫ dw

04) ∫ v n dv = v n+1 + c
n+1

05) ∫ dv / v = ln v + c 06) ∫ a v dv = a v ln a

+c

07) ∫ e v dv = e v + c

08) ∫ sen v dv = - cos v + c 10) ∫ sec2 v dv = tg v + c

09) ∫ cos v dv = sen v + c 11) ∫ csc2 v dv = - cot v + c12) ∫ sec v • tg v dv = sec v + c

13) ∫ csc v • ctg v dv = - csc v + c 15) ∫ ctg v dv = ln sen v + c

14) ∫ tg v dv = - ln cos v + c = ln sec v + c 16) ∫ sec v dv = ln (sec v + tg v) + c

17) ∫ csc v dv = ln (csc v - ctg v) + c dv 1 arc tg v = 2 2 v +a a a 18)

∫ ∫ ∫

+

c

19)

dv v - a2
2

=

1 ln v - a 2a v+a 1 ln a + v 2a a- v

+

c

20)

dv a - v2
2

=

+c

APLICACIÓN DE LAS FÓRMULAS 18-20 Ejercicios del Granville páginas: 248-249. Se quitan los radicales 3,4,6,12,15,16, 17,18,23-26,28 Ejercicios páginas: 250-252. Se usa el término de completar cuadrados, quitar: 4,7,10,11,14,17,21-28,29-31,33,38,39. Ejercicios páginas: 253-254. Son los que utilizan un artificio matemático, quitar: 2,3,5,6,8,13-18,22,23,25,27-29,31,34.

INTEGRACIÓN DEDIFERENCUALES TRIGONOMÉTRICAS: CASO I : INTEGRALES DE LA FORMA:

∫ sen u • cos u du
n m

m o n : Entero positivo impar y no importa lo que sea el otro Identidad usada: Fórmula usada: sen2 A + cos2 A = 1

∫ v n dv =

v n+1 + c
n+1

El impar se separa en dos factores. EJEMPLOS: GRANVILLE pág. 257

∫ sen ∫ sen ∫ sen

2 3 2

x cos5 x dx x dx x cos x dx

CASO II. INTEGRALES DE LA FORMA:∫ tg n v dv

o

∫ ctg n v dv
sec2 A - tg2 A = 1 csc2 A - ctg2 A = 1

n: entero positivo. Identidad usada:

Fórmula usada:

∫ v n dv =
EJEMPLOS:

v n+1 + c
n+1

∫ tg

4

x dx = tg2 x tg2 x dx = tg2 x (sec2x - 1) dx
2

∫ = ∫ sec

∫

x tg2 x dx -

∫ tg

2

x dx = 1 tg3 x 3

∫ (sec x - 1) dx
2

=

1 tg3 x - tg x + c 3

∫ ctg

3

x dx = ctg2 x ctg x dx =ctg x (csc2x - 1) dx

∫

∫

CASO III. INTEGRALES DE LA FORMA:

∫ sec n v dv
Identidad usada:

o

∫ csc n v dv
sec2 A - tg2 A = 1 csc2 A - ctg2 A = 1

n: entero positivo par. NOTA: Para el impar se usa integración por partes .

Fórmula usada:

∫ v n dv =
EJEMPLOS:

v n+1 + c
n+1

∫ sec4 2x dx = ∫ csc 6 x dx =
CASO IV. INTEGRALES DE LA FORMA:

∫ tg m v • sec n v dvCUANDO:

o

∫ ctg m v • csc n v dv

n: entero positivo par se procede como caso III.

EJEMPLOS:

∫ tg6 x sec4 x dx = ∫ tg5 x sec3 x dx =
CASO V. INTEGRALES DE LA FORMA:

∫ sen m v • cos n v dv
m y n: enteros positivos pares. Identidad de Angulos Dobles: sen u • cos u = 1/2 sen 2u sen2 u = 1/2 - 1/2 cos 2u cos2 u = 1/2 + 1/2 cos 2u 2 sen u • cos u = sen 2u

INTEGRACIÓN POR...