Apuntes de calculo multivariable

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UNIDAD l: “ECUACIONES PARAMETRICAS Y COORDENADAS POLARES” Analizando la siguiente curva “C”.

Se concluye que: 1. Es imposible describir la curva “C” de la forma , ya que no cumple con la prueba de la recta vertical. 2. Es necesario utilizar una tercera variable “t” para definir la curva “C”. 3. “t” se le denomina parámetro. 4. , , se le denominan ecuaciones paramétricas.

Por lo tanto,las ecuaciones paramétricas sirven para describir funciones que no pueden expresarse en la forma . Ejemplos:
1. Trace e identifique la curva definida por las ecuaciones paramétricas ,

t -2 -1 0 1 2

x 8 3 0 -1 0

y -1 0 1 2 3

¿Qué tipo de curva se describe? R= una parábola Comprobar que es una parábola

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Despejando “t” de Sustituyendo en

,

, tiene la forma Definición deparábola Otra manera:

2) ¿Qué curva representan las ecuaciones paramétricas x = cos t, y = sen t? 0 ≤ t ≤ 2 además graficar sen2 θ + cos2 θ = 1 x2 = cos2 t y2 = sen2 t x2 + y2 = 1 x2 + y2 = r2 r = 1 c(0,0) t x g 0 1 0 π/2 0 1 π 3π/2 2π -1 0 1 0 -1 0

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3) Deduzca las ecuaciones paramétricas de una cicloide  Cicloide: Curva trazada por un punto “P” ubicado en la circunferencia de un circuloque rueda sin resbalar por una recta.



Se elige un ángulo de rotación θ del circulo como parámetro, cuando “P”, esta en el origen θ = 0°. sen θ = PQ / r −−−−−−> PQ = r sen θ cos θ = CQ / r −−−−−−> CQ = r cos θ OT = PT = S = r θ Sean (x , y) las coordenadas de “P”, entonces: x = OT – PQ = r θ – r sen θ = r ( θ – sen θ ) y = CT – CQ = r – r cos θ = r ( 1 – cos θ ) Por lo tanto las ecuacionesparamétricas de la Cicloide son: x = r ( θ – sen θ ) y = r ( 1 – cos θ )

Longitud de arco La longitud “L” de una curva “C” definida por Y = F(x), a ≤ x ≤ b, está dada por:

“L” proviene de dos partes:
1) Ecuaciones de la distancia que hay entre 2 puntos 

2) Teorema del valor Medio  f(a) = f(b) = f´(c)[a-b]

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Ahora suponiendo que “C” se puede describir con las ecuacionesparamétricas x = f(x) y y = g(t), α ≤ t ≤ β, y f(α) = a y f(β) = b, entonces:

Ejemplos: 1. Si usamos las ecuaciones paramétricas del circulo: x = cos t y = sen t 0≤t≤2 a. Encontrar derivadas:

b. Sustituir en “L”

2. Encontrar la longitud de arco de las ecuaciones paramétricas. x = sen 2t y = cos 2t 0 ≤ t ≤ 2π

,

,

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Área de una Superficie Si la curva representada por las ecuacionesparamétricas x = f(t); y = g(t), α ≤ t ≤ β, el área de la superficie girada en torno al eje x está representada por:

Cuando gira en torno al eje y:

Ejemplo: Demuestre que el área de la superficie de una esfera de radio “r” es 4πr2. Gira en torno al eje x. x = r cos t y = r sen t 0 ≤ t ≤ π I) II) III)

IV) Sustituir en S

Ejemplo: Calcule “S” al hacer girar un arco de la cicloide en torno aleje x, 0≤θ≤2π. x = r (θ – sen θ) y = r (1 – cos θ)

I)

θ

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II)

III)

Sustituir en “S”

Integrar por partes

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COORDENADAS POLARES Θ es (+) si se mide en el sentido opuesto al giro de las manecillas del reloj. Θ es (-) si se mide en el sentido al giro de las manecillas del reloj.

Ejemplos: Grafique los puntos cuyas coordenadas polares son: a) (1,5/4π) b) (2,3π) c)(2,-3/8π) d) (-3,3/4π) a) b)

b)

d)

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TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS cos θ = x / r De este modo X = r cos θ y = r sen θ sen θ = y / r

Para determinar r y θ cuando se conocen x y y: r2 = x2 + y2 tan θ = y / x

Ejemplo: Convierta el punto (2,π/3) de coordenadas polares a cartesianas. P(r,θ) r=2 θ = π/3 x = r cosθ y = sen θ x = 2 cos (π/3) y = 2 sen (π/3) x = 2 (1/2) y = 2 (√3/2) x=1y = √3 Por lo tanto P(x,y) = P(1,√3)

Ejemplo: Represente el punto de coordenadas cartesianas (1,-1) en coordenadas polares: P(x,y) x=1 y=-1 4to Cuadrante r2 = x2 + y2 r = √(12+(-1) 2) r = √2 -1 tan θ = y/x θ = tan (-1/1) = 7π/4 ó –π/4 P (r,θ) = P(√2,7π/4) = P(√2,-π/4)

Gráficas de Ecuaciones Polares Curvas Polares La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) consta de los puntos P que tienen...