Apuntes de clase econmetria

Apuntes del Curso de Teoría Econométrica (EAE 350) por Juan Eduardo Coeymans
Estos apuntes son un material complementario de las clases y no son autocontenidos. Ellos pretenden ser un apoyo de las clases, especialmente para acelerar su ritmo respecto a la entrega de las demostraciones más formales. El contenido del curso es mucho más amplio, ya que en estas notas se omiten ciertos temas ydesarrollos, así como los ejemplos, gráficos y discusiones que se ven en clase. El modelo lineal Los datos son generados por un modelo que tiene una parte estocástica y otra determinística: Yi = β 1 + β 2 Xi2 + β 3 Xi3 + ..........+ β k Xik + ui En forma matricial:
Y1  1 X12    Y2  1 X 22 Y  1 X 32  3  Y =  •  X = • •    • • • • • •    Y  1 X n n2   X13 X14 ....X1k   β1   u1       X 23 X 24 … X 2k   β2  u2   β  u  X33 X 34 … X 3k   3  3 • • … •  β = •  u = •       • • … • •  • •  • • • … •      β  u  X n3 X n4 … X nk    k  n

(1)

(2)

Y = Xβ + u

El método más simple de estimación de los parámetros es el de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MICO). Dicho método es el punto de referencia delos otros disponibles. Primero veremos como se calcula y luego sus propiedades.

El Cálculo del Estimador MICO El modelo estimado:
ˆ ˆ ˆ ˆ Y i = β1 + β 2 X i2 + β3 X i3 + …… + βk X ik + e i ˆ Y = Xβ + e

(3) (4)

Ver la forma de las matrices envueltas. Nótese la diferencia entre e y u

Apuntes de clases, sujetos a revisión, para uso exclusivo de los alumnos del curso de Teoría Econométricadel Instituto de Economía de la Pontificia Universidad Católica de Chile dictado por Juan Eduardo Coeymans.

2
ˆ ˆ ˆ ˆ e i = Y i − (β1 + β 2 X i2 + β 3 X i3 + …… + β k X ik )

(5) (6)

ui = Yi - (β 1 + β 2 Xi2 + β3 Xi3 + ..........+ β k Xik)

Los u son no observables. Lo que se observa son los e i Los MICO se obtienen al minimizar la suma de residuos:
ˆ ˆ ˆ ˆ ∑ e 2 = ∑ ( Y i − β1 − β2X i2 − β 3 X i3 − …… − β k X ik )2 t

(7)

Las condicio nes de primer orden generan un conjunto de ecuaciones normales:
∂ ∑ et2 ˆ ˆ ˆ = − 2∑ (Yi − β1 − β2 X i2 − …… − β k X ik ) = 0 ˆ ∂β1 ∂ ∑ et2 ˆ ˆ ˆ = − 2∑ (Yi − β1 − β2 X i2 − …… − β k X ik ) X i2 = 0 ˆ ∂β 2 ∂ ∑ et2 ˆ ˆ ˆ = − 2∑ (Yi − β1 − β2 X i2 − …… − β k X ik ) X i3 = 0 ˆ ∂β 3

(8.1)

(8.2)

(8.3)

. . . ∂ ∑ et2 ˆ ˆ ˆ = − 2∑(Yi − β1 − β2 X i2 − …… − β k X ik ) X ik = 0 ˆ ∂β k

(8.4)

Este sistema de ecuaciones se puede reescribir como un sistema simétrico:

ˆ ∑ Y = nβˆ + β ∑ X
i 1 2

i2

ˆ ˆ + β3 ∑ X i3 + …………… ………… … + β k ∑ X ik

(9.1) (9.2) (9.3) (9.4)

∑ YX ∑ YX ∑ YX

i2

ˆ ˆ ˆ ˆ = β1∑ X i2 + β2 ∑ X i2 + β3 ∑ X i3 X i2 + ………… …… + β k ∑ X ik X i2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ = β1∑ X i3 + β2 ∑ X i2 X i3 + β3 ∑ Xi2 + …………… … + β k ∑ X ik X i3 3
2 ˆ ˆ ˆ ˆ = β1∑ X ik + β2 ∑ X i2 X ik + β3 ∑ X i3 X ik + ………… + βk ∑ X ik

i3

ik

Nótese que cada ecuación de este sistema se podría haber obtenido multiplicando la ecuación (3) por su variable independiente respectiva, partiendo con la “variable” de unos, y luego sumando a través de las observaciones.

Nota: Apuntes de clases, sujetos a revisión, parauso exclusivo de los alumnos del curso de Teoría Econométrica del Instituto de Economía de la Pontificia Universidad Católica de Chile, dictado por Juan Eduardo Coeymans.

3 En términos matriciales, este sistema se puede escribir como: ˆ X'Y = X'X β ˆ Al resolver las incógnitas de este sistema (el vector β ) se obtiene una expresión matricial para los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios(MICO): ˆ β = (X'X)-1X'Y (9.7) (9.5)

Dividiendo por n a la primera ecuación de este sistema (8.1), se puede ver que el hiperplano de regresión pasa por el punto que tiene como coordenadas a todas las medias de las variables:
ˆ ˆ ˆ ˆ Y = β1 + β 2 X 2 + β3 X 3 + …… + β k X k

(10.1)

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