Apuntes de clase

Unidad 1

Funciones

Mg. Betina Williner

ANALISIS MATEMÁTICO I
APUNTES DE CLASE
UNIDAD 1: FUNCIONES
Temas de la unidad
Introducción: funciones como modelos matemáticos. Funciones. Definición. Dominio e
Imagen. Registros de representación: gráfico, analítico, verbal, tabla o numérico.
Características (ceros, intervalos positividad, negatividad). Paridad. Funciones por trozos.
Homográficas.Funciones exponencial y logarítmica. Funciones trigonométricas (seno,
coseno y tangente). Función acotada. Algebra de funciones. Transformaciones
(traslaciones, reflexiones, contracciones y dilataciones). Inyectividad, sobreyectividad,
biyectividad. Función inversa y composición de funciones. Propiedades. Funciones dadas
en forma explícita, implícita y paramétrica. Cónicas. Aplicaciones.
IntroducciónLa importancia de la Matemática en la evolución de la ciencia y de la tecnología está
fundamentalmente relacionada con la posibilidad de elaborar modelos matemáticos de los
objetos estudiados en las mismas. Es decir, describir mediante un lenguaje preciso las
relaciones, propiedades y comportamiento de objetos reales. Ese lenguaje es de aplicación
universal, permite aplicarlo en diversasdisciplinas: Física, Economía, Biología, etc.
Cuando aplicamos la Matemática a un problema de las ciencias mencionadas o de la vida
real, en primera medida traducimos el problema a términos matemáticos, entonces decimos
que tenemos un modelo matemático. Justamente un modelo matemático es una descripción
matemática de un fenómeno del mundo real, como el tamaño de la población, la demanda
de un producto,la velocidad de un objeto, etc. La finalidad de un modelo es comprender el
fenómeno y quizás sacar conclusiones sobre el mismo o predecir comportamientos futuros.
Para formular este modelo debemos identificar las variables independientes y dependientes
que intervienen y establecer suposiciones que usualmente simplifican el tratamiento
matemático del mismo.
Una vez que tenemos el modelo, aplicamosla Matemática que conocemos para obtener la
solución del problema. Por último interpretamos esta respuesta matemática en términos del
problema original.
Uno de los conceptos que ayudan en la resolución de los problemas mencionados es el de
función, el cual desarrollaremos en esta unidad, comenzando con el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1.1:
Un estacionamiento del partido de La Matanza cobra $20 laprimera hora y $10 por hora
adicional (tolerancia 10 minutos). A su vez se considera la “estadía” cuando el auto
permanece 8 horas o más, cobrando en este caso $90. Cabe aclarar que el estacionamiento
permanece abierto desde las 8 hs. hasta las 24 hs. Respondamos las siguientes preguntas:
a) ¿Cuánto debe pagar una persona que estacionó durante dos horas y media?
b) ¿Cuánto tiempo estacionó su autouna persona que abonó $50? ¿Y $90?
c) Si denominamos con h el número de horas estacionadas y C al costo que implica
dicho estacionamiento: ¿cuál sería la relación entre h y C?
d) ¿Qué valores puede tomar la variable h? ¿Y la variable C?
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Mg. Betina Williner

Entonces:
a) Una persona que estacionó dos horas y media, de acuerdo a la tolerancia de 10
minutos, tendría quepagar estacionamiento por 3 horas. La primera hora $20 y las
dos restantes $10, haciendo un total de $40.
b) Si la persona abonó $50, estacionó una primera hora (que le costó 20$), tres
restantes que le costaron 30$, con lo cual su auto estuvo en el establecimiento entre
4 horas y 4 horas 10 minutos (por la tolerancia). Una persona que abonó $90
estacionó entre 8 y 16 horas su auto en elestablecimiento.
c) Observemos que el problema plantea una relación entre dos variables: el número de
horas de estacionamiento (al que llamaremos h) y el costo del mismo (al que
llamaremos C). Como el costo depende de las horas estacionadas, se llama variable
dependiente, en tanto que al número de horas lo llamamos variable independiente.
La persona que calcula el costo en función de h realiza la siguiente...