Apuntes de clase

Unidad 3. Derivada

Mg. Betina Williner

ANALISIS MATEMÁTICO I
APUNTES DE CLASE
UNIDAD 3: DERIVADA Y DIFERENCIAL
Temas de la unidad
Razón promedio en un intervalo e instantánea en un punto. Significado geométrico y físico.
Derivada de una función en un punto. La derivada como una función. Recta tangente y
normal.. Continuidad de una función derivable. Derivadas laterales. Cálculo de la derivadade funciones elementales. Reglas de derivación. Derivada de una función compuesta.
Derivada de funciones inversas. Derivada de funciones definidas en forma implícita.
Derivación logarítmica. Derivadas sucesivas. Aproximación lineal. Diferencial de una
función. Definición e interpretación geométrica. Relación con el incremento. Álgebra de
funciones diferenciables. Derivada de funciones dadas enforma paramétrica
El problema de la velocidad
Sea s (t ) = 5t 2 la distancia recorrida por un objeto que cae desde un edificio de 450 m.
Queremos calcular la velocidad del objeto en el instante t = 2.
Primero observemos la función: es una función en contexto y nos brinda la distancia que el
objeto recorre (y no la distancia al suelo). Por ejemplo: en el primer segundo el objeto
recorrió 5 metros y sudistancia al suelo es de 445m. En el segundo 2 el objeto recorrió 20m
y su distancia al suelo es de 430m, y así sucesivamente). Para calcular el dominio de esta
función tenemos que tener en cuenta que el objeto no puede recorrer más de 450m, con lo
que:
450 = 5t 2 ⇒ t 2 = 450 / 5 ⇒ t = 90 ≅ 9.48seg (tomamos tiempo positivo).

[

]

Entonces podemos decir que: s : 0,3 10 → [0,450] / s (t ) = 5t 2Para calcular la velocidad en t = 2 comenzamos hallando las velocidades medias en
intervalos de la forma [2, t] o [t, 2]. Tengamos en cuenta que:
Velocidad media =

espacio recorrido s (t ) − s (2)
=
tiempo
t−2
s (t ) − s ( 2)
t−2

t

[2,t]

s(t)-s(2)

t-2

vm =

3
2.5
2.1
2.01
2.001

[2,3]
[2,2.5]
[2,2.1]
[2,2.01]
[2,2.001]

s(3)-s(2)=45-20=25
s(2.5)-s(2)=31.25-20=11.25
s(2.1)-s(2)=22.05-20=2.05s(2.01)-s(2)=20.2005-20=0.2005
s(2.001)-s(2)=20.02005-20=0.02005

1
0.5
0.1
0.01
0.001

25m/s
22.5m/s
20.5m/s
20.05m/s
20.005m/s

Tomemos t < 2
1

Unidad 3. Derivada

t

[t, 2]

1
1.5
1.9
1.99

[1,2]
[1.5,2]
[1.9,2]
[1.99,2]

Mg. Betina Williner

s(2)-s(t)

s(2)-s(1)=20-5=15
s(2)-s(1.5)=20-11.25=8.75
s(2)-s(1.9)=20-18.05=1.95
s(2)-s(1.99)=2019.8005=0.1995
1.999 [1.999,2]s(2)-s(2.001)=2019.98=0.019995

s ( 2) − s (t ) s (t ) − s ( 2)
=
2−t
t−2

2-t

vm =

1
0.5
0.1
0.01

15m/s
17.5m/s
19.5m/s
19.95m/s

0.001 19.995m/s

Si observamos la última columna de las dos tablas, a medida que t se acerca a t = 2, las
velocidades promedio se acercan a 20 m/s. Estamos haciendo un proceso de límite,
entonces es de esperar que definamos velocidad instantánea como límite de las velocidades
promedio:

s(t) − s(2)
5t 2 − 20
5(t 2 − 4)
5(t − 2)(t + 2)
= lim
= lim
= lim
=
t−2
t−2
t →2
t →2 t − 2
t →2 t − 2
t →2
= lim 5(t + 2) = 20m / s

vi (2) = lim
t →2

Lo que observamos en la tabla lo demostramos analíticamente. Entonces definimos:

s(t ) − s(a)
t−a
t →a

vi (a) = lim vm = lim
t →a

El problema de la recta tangente
Continuemos trabajando con la función anterior pero ahora fuera de contexto, esdecir:
f : R → R / f ( x) = 5 x 2
Queremos observar qué significa gráficamente los cocientes que estuvimos calculando
como velocidades promedios. Tengamos en cuenta que llamamos recta secante a una recta
que une dos puntos cualesquiera de una curva.
Por ejemplo el primer cociente:
f (3) − f ( 2)
= 25 (no ponemos unidades porque no trabajamos en contexto). Observemos
3− 2
el gráfico de la función:2

Unidad 3. Derivada

Mg. Betina Williner

50

40

30

20

10

-1

1

2

3

Ese cociente representa la pendiente de la recta secante que está graficada en verde y que
une los puntos P(2,f(2)) y Q (3,f(3)).
Esta interpretación se extiende a todos los cocientes (que antes interpretamos como
velocidad media). Gráficamente representan la pendiente de la recta secante que une a los
puntos P(2, f(2))...